4.4. Объемно-напряженное состояние

Объемно-напряженным состоянием называется случай нагруженного состояния, при котором растягивающие или сжимающие нагрузки приложены в трех взаимно перпендикулярных направлениях (рис.4.11).

e

Рис.4.11.

Обозначение объемного напряженного состояния

При объемно-напряженном состоянии элемент деформируется в трех взаимно перпендикулярных направлениях. При определении деформации _{элементарного кубика под действием растягивающих главных напряжений} s_{1 ,} s_{2 , s3 применим принцип независимости действия сил: каждый силовой} фактор вносит свой вклад в деформацию, независимо от другого силового

фактора. Этот принцип

Используя закон Гука

применим для

= Еe _{и закон}

случая малых упругих деформаций. _{Пуассона m =} e_{попер , можно записать}

прод

в

s

s s

ыражение для расчета деформации элемента по всем трем направлениям.

e

3

1 2

₁ = _Е −m _Е −m _Е

e

s

s s

3

1 2

₂ = −m _Е + _Е −m _{Е (4.14)}

e

s

s s

3

1 2

₃ = −m _Е −m _Е + _Е

Выражение (4.14) носит название обобщенного закона Гука.

ЗАДАЧА №3

Стальной кубик (рис. 1) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти: 1) главные напряжения и направления главных площадок; 2)

максимальные касательные главных напряжений; 3)

напряжения, равные наибольшей полуразности относительные деформации e_x , _y , _z ;

4) относительное изменение объема ∆; 5) удельную потенциальную энергию деформаций П₀.

Дано: s_x = -20 МПа, s_у = 60 МПа,

t_х = -t _у= 50МПа Найти: s₁, s₃, t_max, e_x, e_y, e_z, D, П₀

Данная задача (рис.1) относится к обратным задачам плоского напряженного состояния, т.е. целью решения задачи является определение величины и

Рис. 1

направления главных напряжений s₁, s₃, и положения главных площадок по отношению

к заданным площадкам. Решение задачи осуществляется графическим способом путем построения круга напряжений (круга Мора).

Решение.

1. Выбираем систему координат sot (рис.2).

2. Выбираем одинаковый масштаб по осям s и t.

3. Наносим в этой системе координат точку А, s_x=-20МПа, а ордината t_y=-50МПа.

4. Наносим в этой системе координат точку В, s_y=60МПа, а ордината t_x=50МПа.

абсцисса

абсцисса

которой равна

которой равна

5. Точка А характеризует напряженное состояние по вертикальным боковым площадкам элемента, показанного на рис.1, а точка В характеризует напряженное состояние по горизонтальным площадкам этого элемента. В соответствии с этим покажем у токи А вертикальную площадку, а у точки В – горизонтальную.

6. Соединим (·)А и (·)В прямой АВ, пересекающей ось абсцисс в (·)О'. Точка О’ является центром окружности, а О'В =О'A=r – радиус окружности.

(·)А и (·)В отражают напряженное состояние в двух взаимноперпендикулярных площадках, на круге Мора угол между этими площадками равен 2a=180°. Значит (·)А и (·)В принадлежат концам диаметра АВ окружности.

7. Из центра О' проводим окружность с радиусом r.

8. Находим точки пересечения окружности с осью абсцисс, т.е. точки (·)1 и

(·)2 с координатами: (·)1 (s₁, 0) и определяют главные напряжения, т.е.

(·)2 (s₃, 0). нормальные

Координаты напряжения

этих точек на главных

площадках. Равенство нулю касательных напряжений указывает на то, что координаты (·)1 и (·)2 отражают напряженное состояние именно на главных площадках. Таким образом, в задаче главные напряжения s₁ и s₃ определены графическим способом: s₁ = s_max = 85 МПа, s₃ = s_min = -45 МПа.

9. Находим значения радиуса окружности r и максимального касательного напряжения t_max:

₌

1

2

(s −s₃) ₌ (85 245) _{= 65} t_max = r = 65 МПа

Рис. 2

10. Определяем положение главных площадок с напряжениями s₁, s₃, по отношению к заданным площадкам. Для этого вертикальную площадку, изображенную в (·)А, продолжим до пересечения с окружностью, таким

образом получаем (·)С. Горизонтальную площадку, изображенную в (·)В, также продолжим до пересечения с окружностью в (·)С (рис.2). Точка С называется полюсом.

Соединим (·)1 и (·)2 с полюсом (·)С. Напряжение s_1max, определяемое (·)1, действует в площадке, параллельной лучу 1С, а напряжение s_3max, определяемое (·)2, действует в площадке, параллельной лучу 2С.

11. На рис.2 угол 1СА равен углу a₀ между главной площадкой, на которой действует напряжение s_1мах и площадкой, на которой действует напряжение s_х (или угол между нормалями к этим площадкам ⁿ₁ и ⁿ_x (рис.3)).

Из рис.2 следует, что

t

t t

50

ga_o = ^k1 = = ^{(85+ 20)} = 2,1 x x

tga₀=2,1 a₀=65°

12. На рис.3 в соответствии со сказанным выше изображаем элемент с главными площадками и действующими в них главными напряжениями .

Рис.3 Положение главных площадок с действующими в них главными напряжениями.

13. Определим относительные деформации e_x, e_y, e_z:

Для стали: Е = 2·10⁵ МПа, µ » 0,3.

e

1 1

_x = _E(s_x −ms_y ) = _2×105 (−20−0.3×60) = −20×10⁻⁵

e

1 1

_y = _E(s_y −ms_x ) = _2×105 (60+0,3×20) =33×10⁻⁵

e

m 0,3

_z = − _E (s_x +s_y ) = − _2×105 (−20+60) = −6×10 ⁵

14. Относительное изменение объема кубика ∆:

∆ = e_x + e_y + e_z = 10^-5(-20 + 33 – 6) = 7·10^-5

1

m

5. Удельная потенциальная энергия упругой деформации П_о:

П

1 1

2 2 2

_o = _2E (s_x +s_y )− _Es_xs_y + _2G t_{xy , где}

^G

E

⁼ 2(1+m) ^,

G – модуль упругости второго рода для стали G = 8·10⁴ МПа.

П_о=0,0268 МПа