4.3. Графический способ решения прямой и обратной задач плоско-напряженного состояния (круг Мора)

4.3.1. Прямая задача плоско-напряженного состояния (определение напряжений на наклонных площадках)

С

t

s

−

уществует графический способ определения напряжений в любых наклонных площадках. Способ заключается в построении окружности в координатах . Для этого, преобразовав выражения (4.3) и (4.4) с использованием тригонометрических формул (4.8),

c

2

os² a = ^{1+ cos2} _(4.8)

s

2

in² a = ^{1− cos2}

получают уравнение окружности (4.9)

(

s

2

−а)² +t ² = r² _{, (4.9) где а =} ^{1 + 2} _{− координата центра окружности} С _{, (4.10)}

r

−

= ^s1 ₂^s2 − радиус окружности (4.11) Окружность, построенная по данным параметрам, называется кругом Мора.

К

t

;

руг Мора - геометрическое место точек, характеризующих напряженное состояние любой площадки, принадлежащей исследуемой точке нагруженного

э

s

лемента. Каждая точка этой окружности имеет координаты ( ). Точки _{пересечения окружности с осью (точки 1 и 2) имеют координаты (}s;0₎

(рис.4.9). Равенство нулю касательных напряжений указывает на то, что эти точки характеризуют напряженное состояние в главных площадках. В прямых _{задачах именно по точкам с координатами (}s₁;0_{) и ( 2;0) строят круг} напряжений (круг Мора) (рис.4.9).

а) б)

Рис.4.9

Построение круга Мора при решении прямой задачи

_В

1

1

_{прямой задаче направление нормали} n _{на элементе (рис.4.9а) совпадает с направлением нормали} n _{на круге Мора (рис.4.9б).}

4.3.2. Обратная задача напряженного состояния (определение напряжений на главных площадках)

При решении графическим методом обратной задачи наряженного _{состояния круг напряжений (круг Мора) строят по заданным значениям} s_{a и} t_{a ; b и b . Значения напряжений будут являться координатами точек}

_А(^s_{a ; a ) и В ( b ; b ). В координатных осях} t _{строят эти точки,}

_{соединяют их прямой и на отрезке} АВ _{, как на диаметре, строят окружность, получая круг Мора. Учитывая, что точки} А _{и принадлежат двум взаимно перпендикулярным площадкам, то a =−}t_{b . Представим круг Мора для}

обратной задачи:

а) б) Рис.4.10

Круг Мора при решении обратной задачи

_Д

a

a

ля _{обратной задачи направления нормалей} n _и ⁿ_{b на схеме элемента} (рис.4.10а) и на круге Мора (рис.4.10б) не совпадают. Направление нормалей n _и ⁿ_{b на круге Мора получают путем построения лучей из крайней левой}

точки 2 круга, проходящих через точку А и В.

Напряжения на главных площадках характеризуются точками 1 и 2 с _{координатами (s1;0) (}s₂;0_{). Аналитические выражения для расчета главных напряжений 1 и} s_{2 выводятся из рассмотрения отрезков 0-1 и 0-2 на круге} напряжений:

^s

ê

1

ë

2

ú

û

^{= 1 é}(^s_a ^{+ s}_b )⁺ (^s_a ^−s_b )2 ^{+ 4t2}_a ^ù _(4.12)

^s

ê

ë

2

ú

û

₂₍₃₎ ^{= 1 é}(^s_a ^+s_b )⁻ (^s_a ^−s_b )2 ^{+ 4t}2_a ^ù

У

t

гол наклона a заданной площадки находится также из круга напряжений (рис. 4.10):

t

a

a

g2a = −_s ²_−sb _(4.13)

В

a

1

заимное расположение главной площадки и наклонной (заданной) _{определяют по углу между нормалями} n _и n _.