4.2. Плоско-напряженное состояние

Плоско-напряженным состоянием называется случай нагруженного состояния, при котором растягивающая или сжимающая силы приложены в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 4.5).

Рис.4.5

М

1

F

2

атериал данного элемента в любой произвольной точке испытывает плоское напряженное состояние. Рассмотрим напряженное состояние произвольной точки этого элемента, вырезав вокруг нее элементарный кубик (рис.4.6). От внешних нагрузок Р₁ и Р₂ на грани этого кубика будут действовать _{нормальные (главные) напряжения} s₁ = ^Р _{и s2 =} ^P _.

Рис.4.6 - Обозначение прямой задачи плоского напряженного состояния

Схема обозначения обратной задачи плоско-напряженного состояния представлена на рис.4.7.

Рис.4.7 – Обозначение обратной задачи плоского напряженного состояния

При плоском напряженном состоянии могут встретиться три варианта сочетания главных напряжений (рис.4.8).

В общем

соотношение

случае, для объемного напряженного состояния _{между главными напряжениями:} s₁ñs₂ ñs_{3 . Для}

задается

плоского

s

=

2

s

=

напряженного состояния одно из указанных главных напряжений равно нулю. Причем индекс 1 имеют только растягивающие напряжения, индекс 3 имеют только сжимающие напряжения, индекс 2 могут иметь и растягивающие, и сжимающие напряжения.

а б в Рис.4.8

Варианты сочетания главных напряжений

_{а – 1ñ0 , s2ñ0; б – s1ñ0 ,} s₃ 0_{; в – s2 á0, s3á0}

При решении прямой задачи (определение напряжений на наклонных площадках) величина s_a и t_a будет зависеть и от s₁, и от s₂ (или s₃). При выводе формул для расчета s_a и t_a используют принцип независимости действия сил. Напряжение на наклонной площадке рассматривают как суммарный независимый результат действия напряжений s₁ и s₂, получая следующие выражения (4.3, 4.4):

s

+

a

_a =s₁ cos² a +s₂ sin² a _{(4.3) t}a _{= (}s₁ 2 _{2 )sin2 (4.4)}

ПРИМЕЧАНИЕ: На двух взаимно перпендикулярных площадках:

· алгебраическая сумма нормальных напряжений s_a и s_b равна алгебраической сумме главных напряжений: s_a+s_b=s₁+s₂ = const;

· касательные напряжения равны по величине и противоположны по знаку (закон парности касательных напряжений): t_a =- t_b.

При решении обратной задачи (определение главных напряжений) используют следующие выражения (4.5), (4.6):

s_a +s_b ¹ 2

_{+ (}s_a −s_{b )2 +t}a _{2 (4.5)}

s_a +s_b ²⁽³⁾ 2

_{− (}s_a −s_{b )2 +t}a _{2 (4.6)}

Д

2

ля расчета величины угла наклона, под которым располагается главная площадка по отношению к наклонной (угол между внешней нормалью к наклонной площадке и нормалью к площадке с наибольшим значением главного напряжения), используют выражение (4.7):

_t

2

a

s

s

−

_{g2 = −} t_{a (4.7)} a b