3.1. Определение внутреннего продольного усилия

Под воздействием продольных внешних сил (активных и реактивных), совпадающих с продольной осью элемента х, в поперечных сечениях элемента возникает внутреннее продольное усилие, которое обозначим N.

Для определения внутреннего продольного усилия N применим метод сечений (см. раздел 2) в следующей последовательности:

1). Построим силовую схему (рис.3.2) (план сил)

Рис.3.2

Исходя из силовой схемы, составляем уравнения статики (cм.раздел 1.2) и определяем величину реактивной силы Н_А.:

åX=0; −Н_А−Р₂+Р₁=0 (3.1) Н_А=Р₁−Р₂

Реактивные усилия R_A и М_задел. равны нулю, так как отсутствуют соответствующие активные силовые факторы (поперечная сила и момент).

Таким образом, определены все реактивные усилия.

Задачи, в которых неизвестные реактивные усилия можно определить с помощью только уравнений статики, называются статически определимыми.

2). Определим количество силовых участков на схеме (рис. 3.2.). На силовой схеме имеются два силовых участка.

3). Мысленно проведем сечение на первом силовом участке плоскостью, нормальной к оси стержня, и отбросим левую часть. Отброшенную часть заменим вектором продольного внутреннего усилия N₁(x) для уравновешивания оставшейся части (рис.3.3). Направление вектора N для статически-определимых задач показываем «от сечения», считая его растянутым. Подобным образом рассматривается второй участок и определяется N₂ (x).

Рис.3.3

Внутреннее продольное усилие – это есть алгебраическая сумма всех внешних (активных и реактивных) продольных сил, расположенных на оставленной части стержня.

4). Составим уравнения статического равновесия для каждого силового

участка.

å

1 2 1

1 1 2

^{x = 0; −N (x)−P + P = 0, (3.2)} _откуда N(х) = Р −Р

Для второго силового участка:

å

1

1

^{х = 0 ; − N(x)}2 ^{P = 0 Þ N(x)}2 ^{= P (3.3)}

3.2. Построение эпюры внутреннего продольного усилия

Построим эпюру распределения внутреннего продольного усилия по длине всего элемента рис.3.4. Для этого построим на каждом силовом участке график зависимости N(х) по уравнениям (3.2) и (3.3).

Рис.3.4 Эпюра распределения внутреннего продольного усилия по длине элемента.

Целью построения эпюр является определение опасного участка (сечения) элемента. В нашем примере опасным будет участок II, т.к при постоянной величине поперечного сечения всего элемента на этом участке значение внутреннего усилия N наибольшее. Рассматриваемая эпюра и для I и для II силовых участков лежит в положительной области. Знак “+” на эпюре говорит о том, что все участки стержня испытывают деформацию растяжения. Как видно из рис.3.4, поперечный размер элемента не оказывает влияния на величину внутреннего усилия N.

3.3. Проверка прочности, подбор сечения элемента

Конечной целью рассмотрения нагруженного состояния будет являться либо проверка прочности, либо подбор сечения элемента конструкции. Прочность любого элемента конструкции, как и конструкции в целом, связана с определением напряжения s_max в опасном сечении и сравнении этой величины с допускаемым напряжением [s] (см. учебник, раздел «Механические свойства материалов»). Это условие получило название условие прочности. Так при осевом растяжении (сжатии) условие прочности записывается следующим образом:

N

[ ]

s

s

/= £

/

_max

^max F ^(3.4)

_В

P

_{нашем примере Nmax=P1 (рис.3.4) ,} s_max = ¹ _.

Значение допускаемого напряжения [s] зависит только от свойств материала конструкции, определяется экспериментально для каждого материала и указывается в справочной литературе.

Для проверки прочности элемента необходимо сравнить рассчитанное по _{формуле 3.4} ^s_{max с} [ ]_{. Если неравенство выполняется, то приложенные к}

элементу внешние нагрузки удовлетворяют условие прочности.

Для подбора сечения элемента конструкции из условия прочности, записанного для конкретного случая, рассчитывают площадь поперечного сечения по формуле 3.5.

^F

s

^³ [ ] ^(3.5)

Далее рассмотрим решение задач на осевое растяжение (сжатие) №1 и №2.

ЗАДАЧА №1

Стальной стержень (Е = 2•10⁵ МПа)

находится под действием продольной силы Р и собственного веса (g = 78 кН/м³). Найти

перемещение сечения I – I (рис. 1).

Дано: Р = 1000 Н

g = 78 кН/м³ = 78×10³ Н/м³ Е = 2×10⁵ МПа = 2×10¹¹ Па F_a = 10 см² = 10×10^-4 м²

F_b = F_c = 12 см² = 12×10^-4 м² а = 2 м

b = 1,5 м

с = 3 м _{Рис. 1 – Заданная схема}

Требуется: определить перемещение сечения I-I – d _I-I

РЕШЕНИЕ

1. Общие формулы.

Под действием внешней силы Р и веса всех участков стержня сечение 1-1 переместится вниз вследствие растяжения участков «а» и «b», т.е.:

d

b

b

_I−I = Dl_a +Dl _{(1), где} Dl_{a – абсолютная деформация участка «а»;} Dl _{– абсолютная деформация}

участка «b».

Деформации участков «а» и «b» определяем по формуле:

D

EF

l = ^Nl (2) (Закон Гука)

В формуле (2) N – внутреннее усилие в сечении рассматриваемого участка. Как указывалось выше, величина N определяется методом сечения.

2. Составление плана сил.

От заданной схемы (рис. 1) переходим к составлению плана сил, R-сила реакции со стороны опоры (заделки) (рис.2).

3. Определение неизвестной силы R

Составим уравнение статического равновесия

å

a b c

^{Y = 0; R− P−Q −Q −Q = 0 (3)}

R

a b c

= P+Q +Q +Q (4)

=

s

В уравнении (4):

Q

a

– вес участка «а»:

Q

a a

= F ×a×g =10×10⁻⁴ ×2×78×10³ =156Н ;

_b

Q

– вес участка «b»:

Q

b b

= F ×b×g =12×10⁻⁴ ×1,5×78×10³ =140Н ;

Q_c – вес участка «c»

Q

c c

= F ×c×g =12×10⁻⁴ ×3×78×10³ = 281Н .

4. Определение внутренней продольной силы на участке «а»

Методом сечения определим внутреннюю

продольную силу N_(x)a в участка «а», выбранном

поперечном сечении на расстоянии x от

заделки (рис.3):

Рис. 2 – План сил

Для уравновешенной системы (рис.3) составим уравнение статического равновесия:

Y

Q

= 0; R N_(x)a − _(x)a = 0 (5)

г

Q

де _(x)a – вес отрезка стержня длиною x участка «а»:

Q

( a

(

_x)a = F ×x×g =10×10⁻⁴ ×x×78×10³ = 78×x кН (6) Из (5): N_(x)a = R−Q _x)a =1577−78×x (7)

Рис. 3 ^{5.Определение деформации участка «а».}

Величина N_{( )a} – является функцией от x, деформацию участка «а» удобно рассмотреть через деформацию элемента dx бесконечно малой длины (рис.3). Относительное удлинение этого участка dx

будет такое же, как и относительное удлинение всего участка «а», т.е.:

e

dx

_dx = ^Ddx (8)

где Ddx – абсолютное удлинение участка dx.

Из формулы закона Гука = Ee

e = _E

получаем: Ddx

dx E

(9) (10)

(11)

=

Н

F

о s = ^N (12)

Подставив (12) в (11), получаем:

Ddx ^N_(x)a

dx E×F

(13)

А

a

бсолютное удлинение участка dx:

D

E×F

dx = ^N(x)adx (14) a

П

1 1 1

ò ò

2

a a a

0 0

олную деформацию участка «а» получим, интегрируя выражение (14): Dl_a = _E×F a N_(x)a ×dx = _E×F a (1577−78×x)dx = _E×F (1577×x− ^78×x2 ) =

=

æ ö æ ö

× ×

8 1 8

×

1

F

è ø è ø

_E¹ a _ç1577×a− ⁷ ₂^a2 _÷ = _{2×10 1 ×10×10−4 ç}1577×2− ⁷ ₂²2 _÷ = (15)

=

1 2998

_2×108 (3154−156) = _2×108 =1499×10⁻⁸ м = 0,015мм

6. Определение внутренней продольной силы на участке «b»

Определим внутреннюю продольную силу N_(x)b в поперечном сечении участка «b» (рис. 4)

Для уравновешенной системы (рис. 4) составим уравнение статического равновесия:

å

a (

Q

Q

Q

^{Y = 0; R− N}_(x)b ^{−Q −Q} _x)b ^{= 0 (16)} где _a – вес участка «а» стержня. _a 156Н

_{( )b} – вес стержня длиною x участка «b»;

₍

Q

b

_x)b F ×x×g =12×10⁻⁴ ×x×78×10³ = 93,6×x кН ; из (16):

N

a (

_(x)b = R−Q −Q _x)b =1577−156−93,6×x (17)

7. Определение деформации участка «b».

Деформацию участка стержня «b», так же как и участка стержня «а», определим через относительную деформацию бесконечно малой длины заштрихованного элемента, выделенного на участке «b».

Р

×

E

b

ис. 4 Ddx = N(x)b^Fdx (18)

D

ò

ç ÷

b

× ×

2

F F

è ø

0

l = _E¹ b b (1421−93,6×x)dx = _E¹ b ^æ1421×x− ^93,6×x2 ^ö =

=

æ ö æ ö

ç ÷ ç ÷

× ×

1

2 1 2

F

_E¹ b _è1421×b− ^93,6×b2 _ø = _{2×10 1} ¹_{2×10−4 è}1421×1,5− ^93,6×1,52 _ø = (19)

=

1 2026,2

_24×107 (2131,5−105,3) = _24×107 =84,4×10⁻⁷ м = 0,0084мм

8. Определение перемещения сечения I-I – d_I-I

d

b

_I−I = Dl_a +Dl = 0,0150+0,0084 = 0,023мм

Ответ: перемещение сечения I-I – d_I-I равно 0,023мм

ЗАДАЧА №2

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 1). Требуется:

1

Т

) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) найти допускаемую нагрузку [Q_доп], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [s] = 160 МПа; 3) найти предельную грузоподъемность системы Q^К и допускаемую нагрузку [Q_доп], если предел текучести s_т = 240 МПа и запас прочности k = 1,5; 4) сравнить величины [Q_доп], полученные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

Дано:

F = 10 см²

а = 2 м b = 2 м с = 1 м l₂ = 2l₁

[s] = 160 МПа s_т =240 МПа k = 1,5

Е₁ = Е₂ = Е

Н

Т

айти: Q^К - ? [Q_доп] - ?

РЕШЕНИЕ

1. Составление плана сил.

От заданной схемы (рис. 1) переходим к составлению плана сил (рис. 2)

Рис. 2 – План сил

Стержни 1 и 2 под действием силы Q испытывают осевое растяжение. N₁ и N₂ – внутренние растягивающие силы в стержнях.

В неподвижном шарнире А показаны две связи (реакции) – R_A и Н_А.

2.Составление уравнений равновесия.

Для уравновешенной системы (рис. 2) составим уравнения статического равновесия.

¹⁾ å^{x = 0; 2)} å^{y = 0;}

³⁾ å^{M(A) = 0 ;}

H_A = 0

R_A + N₁ −Q+ N₂ = 0 (1)

N₁ ×a−Q(a+c)+ N₂ (a+b) = 0

В составленных уравнениях имеем четыре неизвестные: Н_А, R_A, N₁, N₂, а уравнений статического равновесия - три. Разность между числом неизвестных, входящих в уравнения статического равновесия, и числом составленных уравнений, называется степенью статической неопределимости. Обозначим степень статической неопределимости символом m. В рассматриваемой задаче m = 1. Это указывает на то, что для решения системы (1) необходимо составить еще одно дополнительное уравнение. Дополнительные уравнения, позволяющие раскрыть статическую неопределимость, основываются на связях между деформациями элементов и называются уравнениями совместимости деформаций. Составляются они на основе рассмотрения плана перемещений элементов системы.

3. Составление плана перемещения элементов системы

Рассмотрим план перемещения элементов системы (рис. 3).

Здесь: ВВ’ – величина абсолютного удлинения стержня 1, Dl₁; СС’ -величина абсолютного удлинения стержня 2, Dl₂.

ПРИМЕЧАНИЕ: при повороте бруса АС вокруг шарнира А (×) В и (×) С описывают дуги. Учитывая, что деформации Dl₁ и Dl₂ имеют очень малые

=

=

1

1

1

×

E F

=

1

=

значения, дуги можно заменить касательными к ним, т.е. вертикальными отрезками.

Находим зависимость между отрезками Dl₁ и Dl₂. Для этого сначала рассмотрим два подобных треугольника АВВ’ и АСС’.

Рис. 3 – План перемещения элементов системы

Из подобия этих треугольников: _ВВ¢ _СС¢

а (а+b)

(2)

или

Dl Dl₂

а (а+b)

(3)

Это уравнение и называется уравнением совместности деформаций

4.Нахождение дополнительного уравнения, связывающего неизвестные силы

По закону Гука: Dl = ^{N1 ×l} ;

1 1

D

×

E F

l₂ = ^{N2 ×l2} (4) 2 2

С учетом (4) запишем выражение (3): N₁ ×l N₂ ×l₂

E

1 1 2

1

×F ×a E₂ ×F ×(a+b) N₁ ×l N₂ ×2l₂

E×10×10⁻⁴ ×2 E×20×10⁻⁴ ×4

Из (6) получаем: N₂=2N₁

N₂ = 2N₁ (7) и есть искомое дополнительное уравнение.

(5)

(6)

(7)

Определение неизвестных сил.

Решаем систему уравнений (1) с уравнением (7):

2) R_A + N₁ −Q+2N₂ = 0

s

= = =

300Q

1

3) N₁ ×a−Q(a+c)+2N₁(a+b) = 0 (8)

Из 3): N₁ ×2−Q×3+2N₁ ×4 = 0 (9) 10N₁ = 3Q Þ N₁ = 0,3Q (10)

Из (9) с учетом (7): N₂ = 0,6Q (11) Из 2): R_A = Q− N₁ −2N₂ = −0,5Q (12) Таким образом, мы раскрыли статическую неопределимость, все

неизвестные силы выразили через внешнюю нагрузку Q.

6. Определение напряжений в стержнях

Найдем напряжения в каждом из стержней, выразив их через Q:

N₁ 0,3Q ¹ F 10×10⁻⁴

s

N

0 6Q

₂ = _F² = ₂₀^,₁₀₋₄ =300Q

(13)

(14)

В

×

2

данном примере напряжения в обоих стержнях получились одинаковые. s₁ =s₂ =s =300Q (15)

7. Определение допускаемой нагрузки.

Найдем допускаемую нагрузку [Q]. Приравняем s к допускаемому напряжению [s]:

³

[

s

60×10

s

0⁰[^Q]⁼[ ]^Þ[^Q]⁼ ₃₀₀ ⁼¹ ₃₀₀ 6 ^{=530кН (16)}

8. Определение предельной нагрузки.

Найдем предельную нагрузку Q_пр, вызывающую предельно допустимое нагруженное состояние системы:

N

1

₁ = _Т ×F

N

2

₂ = _Т ×F (17)

В уравнение статического равновесия (см. уравнение (3) системы (1)) подставим значения N₁ и N₂ из (17):

s

1 2

Т

_Т ×F ×a−Q^К (a+c)+s_Т ×F (a+b) = 0 (18)

2

Т

40×10⁶ ×10×10⁻⁴ ×2−Q^К ×3+240×10⁶ ×20×10⁻⁴ ×4 = 0 (19)

Q

Т

3 3

^К =¹⁰3^(480+1920) =¹⁰3 ^×2400 =8×10⁵ Н =800кН (20)

Q

Т

п

К 1,5

_р = ^QК = ⁸⁰⁰ = 533,3кН (21)

ОТВЕТ: предельная нагрузка Q_пр, рассчитанная по предельному состоянию системы, больше, чем [Q], рассчитанная по допускаемым напряжениям.