12. Замкнутая и несбалансированная транспортная задача.

Транспортная задача — задача о наиболее экономном плане перевозок однородного или взаимозаменяемого продукта из пункта производства (станций отправления) в пункты потребления (станции назначения)— является важнейшей частной задачей линейного программирования, имеющей обширные практические приложения не только к проблемам транспорта.

Транспортная задача выделяется в линейном программировании определенностью экономической характеристики, особенностями математической модели, наличием специфических методов решения.

В общем случае транспортная задача имеет следующий вид: дано т поставщиков продукции одного вида и п потребителей; предложение каждого i-го поставщика составляет ai единиц, ; спрос каждого j-го потребителя – bj единиц, тарифы перевозок равны сij, ,Требуется определить оптимальный план перевозок продукции (т. е. количество продукции, перевозимой от каждого поставщика каждому потребителю), и котором суммарная стоимость перевозок минимальна. Заметим, что транспортная модель строится при условии линейной зависимости стоимости перевозок от количества перевозимой продукции.

Пусть хij – количество продукции, перевозимой от i -го поставщика

j-му потребителю ;

Целевая функция (4.1) определяет суммарную стоимость перевозок. Ограничения (4.2) соответствуют тому, что количество продукции, вывозимой от i-го поставщика, не должно превосходить предложения i-го поставщика (для всех поставщиков). Ограничения (4.3) соответствуют тому, что количество продукции, ввозимой j-му потребителю, должно полностью удовлетворять спросу j-го потребителя (для всех потребителей). Ограничения (4.4) соответствуют тому, что суммарное предложение не должно быть меньше суммарного спроса.

13. Проблема выбора оптимального маршрута.

Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр — разъездной сбытовой посредник) — одна из самых известных задач комбинаторной оптимизации, заключающаяся в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов.

Методы решения:

• полный перебор

• случайный перебор

• жадные алгоритмы

  • метод ближайшего соседа

  • метод включения ближайшего города

  • метод самого дешёвого включения

• метод минимального остовного дерева

• метод имитации отжига

Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра — методыэвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, априближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Существуют также постановки, в которых задача коммивояжера становится NP-полной. Обычно такие постановки выглядят следующим образом: существует ли на заданном графе G такой обход, что его стоимость не превышает x. Часто на ней проводят обкатку новых подходов к эвристическому сокращениюполного перебора.

На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ иметод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии.