§9.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Гармонический осциллятор.

Движение тела под действием возвращающей силы, согласно 2-му закону Ньютона определяется уравнением:

₀– собственная частота колебаний системы

X(t)=Acos(ω₀t+φ₀)

Гармонический осциллятор – любая системы описывающаяся дифференциальным уравнением. (Физический маятник, математический маятник, колебательный контур)

Примеры:

1. Физический маятник:

a– расстояние от точки подвеса до центра масс

2. Математический маятник:

§9.3 Кинетическая энергия гармонических колебаний.

Среднее значение энергии:

§9.4 Затухающие колебания.

Колебания с течением времени затухают. Это связано с тем, что действуют силы сопротивления, которые при малых скоростях пропорциональны скорости.

Таким образом, 2-й закон Ньютона записывается в виде:

Полученное дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний.

Решением является функция:

ω₀– частота свободных колебаний

 – коэффициент затухания.

При больших возможно, что=0: Апериодический процесс. В этом случае, энергия, полученная от отклонения, полностью расходуется на преодоление сил сопротивления.

Характеризуется логарифмическим декрементом:

§9.5 Вынужденные колебания.

Вынужденные колебания происходят под действием вынуждающей силы.

F(t)=F₀cosωt

2-й закон Ньютона:

Они происходят с частотой ωвынуждающей силы.

При , амплитуда достигает максимального значения

На рисунке β₂>β₁

Гл. 10 Упругие волны

§10.1 Продольные и поперечные волны.

Упругими или механическими волнами называют процесс распространения в среде. Акустическими или звуковыми называют колебания с частотой - =(16-20000)Гц.

<16 – инфразвук.

>20000 – ультразвук.

Распространение волн не сопровождаетсяпереносом вещества. При этом частицы совершают гармонические колебания относительно центра равновесия. Если колебания происходятнаправлению скорости волны, то они – поперечные, если || - то продольные.Фронт волны– геометрическое место точек, до которого доходят колебания источника.

§10.2 Уравнение бегущей волны.

Бегущие волны – волны переносящие энергию.

Уравнение бегущей волны – функция, показывающая положение частиц от времени.

S(x,t)

S(t)=Acos(t)

В некотором направлении X, при скорости волныV, колебания точки на расстоянииxбудут запаздывать наΔt. Поэтому смещение будет равно:

S(x,t)=Acos(ω(t–Δt))=Acos(ω(t–x/V))

Расстояние, которое проходит волна за один период, называют длинной волны.

§10.3 Фазовая скорость. Энергия упругих волн.

Фазовая скорость– скорость передвижения фронта волны, зависит от плотности среды других свойств.

E– модуль Юнга,ρ– плотность среды

Упругие волны переносят энергию, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергии всех составляющих частиц среды, где происходят колебания.

Т.к. среда может быть бесконечной, удобно определять энергию волны через энергию, приходящуюся на единицу объема.

удельная плотность энергии:

Видно, что плотность энергии зависит от времени. Это значит что в процессе распространения колебаний энергия изменяется от 0 до W_max=²A², что соответствует моментам полной отдачи энергии соседним участкам среды (0) и получении новой порции энергии от источника.