Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале [x0,b). На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах xi, которое обозначим через yi определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

20. Методы Рунге — Кутта — важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методами Рунге — Кутта являются модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка (см. ниже). Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков.

21. Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0).

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

Если решение существует, то какова область его существования?

Является ли решение единственным?

Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.

22. Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Теория ПЭ охватывает практически все встречающиеся на практике варианты исследования объектов. В дальнейшем будут рассмотрены следующие типовые задачи экспериментального исследования:

• поиск значений параметров системы, обеспечивающих достижение оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при известных ограничениях на значения этих параметров. Перебор всех допустимых сочетаний значений параметров системы с целью поиска оптимального варианта нерационален по затратам ресурсов;

• приближенное аналитическое описание функциональной связи показателей качества с параметрами системы по результатам проведенного эксперимента. Традиционные методики проведения экспериментов из-за зависимости компонентов восстанавливаемого аналитического описания не позволяют определить раздельное влияние каждого фактора на результирующий показатель;

• оценка дифференциального влияния уровней параметров системы на показатель качества.

Кроме указанных, существуют и других задачи, решаемые с помощью ТПЭ, например:

• испытания образцов техники. Планирование должно позволить оценить степень соответствия показателей качества образцов заданным требованиям при минимальном объеме испытаний;

• отсеивающие эксперименты. Предназначены выявить параметры, незначительно влияющие на показатель качества системы.

• адаптивное планирование. Применяется в условиях управления технологическим процессом, когда система управления все время должна приспосабливаться к конкретным условиям функционирования, а возможно, и предсказывать дальнейшее развитие процесса.

Решение задач с применением ТПЭ предусматривает использование априорной информации об изучаемом процессе для выбора общей последовательности управления экспериментами, которая уточняется после очередного этапа проведения исследований на основе вновь полученных сведений.

23. Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра x и соответствующих значений выходного параметра y (рис.1,а). Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости математического ожидания y от значения x , носящей название регрессионной. Целью однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной модели - установление зависимости y=f(x) .

Многофакторный пассивный эксперимент проводится при контроле значений нескольких входных параметров xi (1.,б) и его целью является установление зависимости выходного параметра от двух или более переменных y=F(x1,x2,...).

Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам.

Обычно используются следующие группы параметров:

управляющие (входные xi )

параметры состояния (выходные Y )

возмущающие воздействия (Wi )

При многофакторном и полном факторном эксперименте выходных параметров может быть несколько. Управляющие параметры xi представляют собой независимые переменные, которые можно изменять для управления выходными параметрами. Управляющие параметры называют факторами. Если i=1 (один управляющий параметр), то эксперимент однофакторный. Многофакторный эксперимент соответствует конечному числу управляющих параметров. Полный факторный эксперимент соответствует наличию возмущающих воздействий в многофакторном эксперименте.

Диапазон изменения факторов xi или число значений, которое они могут принимать называется уровнем фактора.

Полный факторный эксперимент характеризуется тем, что при фиксированных возмущающих воздействиях Wi минимальное число уровней каждого фактора равно двум. В этом случае, зафиксировав все факторы xi кроме одного, необходимо провести два измерения, соответствующих двум уровням этого фактора. Последовательно осуществляя такую процедуру для каждого из факторов xi , получим необходимое число N опытов в полном факторном эксперименте для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов N=два в степени k , где k - число факторов.