Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от lj не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xi.

15 Этапы моделирования

При всем многообразии содержания конкретных работ по моделированию систем каждое компьютерное моделирование требует последовательного выполнения следующих шести этапов:

-   постановка задачи;

-   построение математической модели;

-   составление программы для компьютера;

-   оценка адекватности модели;

-   планирование эксперимента;

-   интерпретация результатов моделирования.

Рассмотрим каждый этап отдельно.

Постановка задачи. Как и всякое исследование, компьютерное моделирование должно начинаться с постановки задачи моделирования, т.е. с ясного изложения целей моделирования и ограничений, которые необходимо учитывать при построении моделей. Цели обычно формируются в виде либо вопросов, на которые надо ответить; либо гипотез, которые надо проверить; либо воздействий, которые надо оценить. Построение модели. Под математической моделью будем понимать совокупность соотношений, которые связывают во времени характеристики процесса, протекающего в системе с ее параметрами, входными сигналами и начальными условиями. Разнородность назначения элементов сложных систем, функционирование в условиях воздействия случайных факторов приводят к разнообразию математических схем, применяемых для описания сложных систем и их элементов. Составление программы для компьютера. На этом этапе перед разработчиком модели возникает проблема ее описания на языке, приемлемом для использования компьютера. Быстрый переход к компьютерному моделированию привел к развитию большого числа специализированных языков программирования, предназначенных для этой цели. Оценка адекватности модели. В сложных системах, к которым относятся объекты компьютерного моделирования, любая модель лишь частично отражает реальный процесс. Модель считается хорошей, если, несмотря на свою неполноту, может точно предсказать влияние изменений в системе на общую эффективность системы. Поэтому необходима проверка степени соответствия (адекватности) модели и реального процесса. Планирование эксперимента. После завершения этапа оценки пригодности модели необходимо осуществить прогон (реализацию) модели с целью получения желаемой информации. Результаты моделирования, полученные при воспроизведении единственной реализации процесса, описываемого моделью в силу действия случайных факторов, не могут объективно характеризовать процесс функционирования модели. Поэтому искомые величины при исследовании процессов методом компьютерного моделирования получают как средние значения по данным большого числа реализаций процесса. Обработка результатов моделирования. После экспериментирования с моделью надо обработать его результаты. Для сложных систем и большого количества реализаций, воспроизводимых при моделировании, объем информации о состоянии системы может быть настолько значительным, что запоминание ее в памяти компьютера, обработка и последующий анализ оказываются практически невозможными, или, во всяком случае, очень трудоемкими. Поэтому необходимо таким образом организовать фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки искомых величин формировались постепенно по ходу моделирования, без специального запоминания всей информации о состояниях системы.

16. Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов.

Нелинейная система — динамическая система, в которой протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Свойства и характеристики нелинейных систем зависят от их состояния.

Линейная система — математическая модель системы, оператор которой обладает свойством линейности

17.Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

18. Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t .

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁ , y₂ , ... , y_T )' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

19. Метод Эйлера— наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление», том 1, раздел 2, гл. 7. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.