6.2 Кутова модуляція

Модулюючи гармонічне коливання а(t) =A₀cos₀t низькочастотним сигналом, що містить інформацію, можна подіяти не тільки на амплітуду несучої, а також на її частоту. З формально - математичної точки зору це зводиться до впливу на параметр, що знаходиться під функцією косинуса і являє собою кут розміщення вертора коливання. В залежності від способу цього впливу розрізняють фазову і частотну модуляцію.

Лінійна фазова модуляція отримується, якщо модулюючий сигнал сумується з згаданим кутом, що знаходиться під функцією косинуса. З фізичної точки зору це означає вплив модулюючого сигналу на початкову фазу коливання. Такий вплив неминуче несе за собою також зміну часоти коливання, яке модулюється. Математично фазомодульоване коливання можна подати виразом

a_фм(t)=A₀cos[₀t+ks(t)] (6.20)

Діючи при визначенні спектру фазомодульованого коливання в тій же послідовності, що й у випадку амплітудної модуляції, тобто припускаючи, що модулюючий сигнал є гармонічним коливанням, отримуємо

a_фм(t)=A₀cos[₀t+kS₀cos(t+)]. (6.21)

Називаючи амплітуду зміни кута (фази)

kS₀=m_фм (6.22)

індексом кутової модуляції і з метою спрощення математичних пояснень вважаючи  = 3/2, а косинус суми виражаючи через тригонометричні функції, отримуємо

a_фм(t)=A₀[cos₀tcos(m_фмsint) - sin₀t sin(m_фмsint)]. (6.23)

Так як cos(m_фмsint) і sin(m_фмsint) є періодичними функціями часу, то вони можуть бути розкладені в ряд Фур’є. Користуючись функціями Бесселя першого роду, можна записати

(6.24)

і

. (6.25)

В приведених виразах (6.24) і (6.25) індекс у І означає порядок бесселевої функції першого роду, яка знаходиться для аргумента m_фм. Підставляючи отримані розклади у вираз (6.23) і враховуючи формули добутку тригонометричних функцій (косинусів і синусів), отримаємо

(6.26)

Отриманий вираз показує, що спектр несучої, промодульованої по фазі гармонічним коливанням, теоретично нескінченний (рис.6.3). Спектр складається із дискретних складових, розміщених по обидві сторони несучої частоти. Ці складові знаходяться одна від одної на відстані частоти модулюючого сигналу. Фази непарних складових спектра верхньої і нижньої бокових смуг при цьому протилежні.

Лінійна частота модуляції отримується, якщо модулюючий сигнал впливає безпосередньо на кутову частоту несучої. Математично це зображується

(t) =₀ + ks(t). (6.27)

По своєму фізичному змісту кутова частота сигналу є швидкістю зміни кута вектора коливання. Із цього випливає, що миттєва частота розраховується як похідна закону зміни кута вектора коливання, і навпаки кут вектора коливання можна отримати у вигляді інтеграла миттєвої кутової частоти. Виходячи з цього, модульоване по частоті гармонічним сигналом коливання може бути подане у вигляді формули

Рисунок 6.3 – Спектральний склад сигналу, модулюючого по фазі одним гармонійним коливанням

a_чм(t) . (6.28)

Останній вираз перетворимо в

a_чм(t) . (6.29)

Порівнюючи цей вираз з формулою (6.21), бачимо, що єдина суттєва різниця між ними є те, що у виразі (6.29) амплітуда зміни кута (фази) виражається як

kS₀ /  = m_чм . (6.30)

В іншому математичні вирази для фазо - і частотно - модульованих сигналів можна вважати співпадаючими; а отже, співпадають по своїй структурі також їх спектри. Таким чином, при модуляції несучої гармонічним коливанням по структурі спектру не можна впізнати, з якою модуляцією ми маємо справу - фазовою або частотною.

Частотну модуляцію часто характеризують її девіацією, тобто максимальною зміною миттєвої частоти немодульованого коливання (зміна створюється модулюючим сигналом). Згадно формули (6.28), для випадку модуляції гармонічним сигналом

_Чм = kS₀ (6.31)

Та ж величина для випадку фазової модуляції може бути визначена із формули (6.21). Так як

(6.32)

Таким чином, у випадку фазової модуляції ми маємо справу з незалежним від частоти модулюючого сигналу і пропорційним його амплітуді індексом модуляції і лінійно зростаючою із збільшенням частоти модулюючого сигналу девіацією (рис.6.4,а). У випадку частотної модуляції незалежно від частоти модулюючого сигналу і пропорційною його амплітуді є девіація частоти, а індекс модуляції зменшується із збільшенням частоти модулюючого сигналу (рис.6.4, б).

Якщо модулюючий сигнал складний, тобто являє собою суму різних гармонічних коливань, то спектр модульованого сигналу, залишаючись безмежним по своїй протяжності, виражається громіздкою і незручною для використання формулою. Слід відмітити, що такий спектр може бути несиметричним по відношенню до несучої частоти. Ця несиметричність виникає, якщо в склад складного сигналу входять гармонічні коливання, частоти яких відносяться один до одного як цілі числа.

В результаті відбувається сумування спектральних складових, співвідношення фаз (знаків) яких по різничх сторонах несучої частоти різні. Таким чином, на відміну від випадку амплітудної модуляції, у випадку кутової модуляції неможливе відновлення повного спектру по одній його боковій смузі. Структури промодулльованих коливань різні при фазовій і частотній модуляції. Відмінні в обидвох випадках і способи здійснення цих модуляцій. У випадку фазової модуляції генератор несучої частоти може бути стабілізований кварцем, а модуляція здійснюється в одному із наступних елементів пристрою. Частотна модуляція звичайно здійснюється прямою дією на частоту несучої. Так як будь-яка фазова модуляція породжує зміну частоти, і навпаки, то у всіх випадках, користуючись нескладними пристроями, можна перетворити один вид модуляції в інший.

1. випадок фазової модуляції; б) випадок частотної

модуляції.

Рисунок 6.4 - Особливості фазо- і частотно- модулюючих сигналів

Хоча теоретично смуга частот, що зайнята сигналом з кутовою модуляцією, безмежна (6.26), практично її можна обмежити, так як бесселеві функції стають дуже малими, коли їх індекси значно більші аргументу. Якщо індекс модуляції m < 1.5, то кутова модуляція практично має такий же спектр, як і амплітудна. Із зростанням m кількість враховуючих складових спектру росте, і номер останньої з них, величина якої більше 1% амплітуди немодульованого коливання несучої частоти, визначається по наближеній формулі

k=1+m+m. (6.33)

Ця формула дає позитивні результати для найбільш поширених значень m (0,5  m  24). У випадку, коли  ширина спектра близька до величини 2, коли >> ширина спектра близька до величини 2.

Рисунок 6.5 – Залежність амплітуди несучої частоти від індекса модуляції.

Характерною особливістю кутової модуляції є зміна амплітуди несучої частоти, а також повне зникнення несучої при визначених значеннях індекса модуляції (рис.6.5). Ці значення (2,4048; 5,5201; 8,6537; 11,7915; 14,9309 і т.д.), що називаються коренями амплітуди коливання центральної частоти, використовуються для точного заміру девіації промодульованого коливання.

Загальна потужність сигналу з кутовою модуляцією, що виділяється при навантаженні 1 Ом, визначається по формулі

.(6.34)

Але так як, згідно теорії функцій Бесселя,

, (6.35),

то (6.36)

Це означає, що потужність сигналу при його модуляції залишається постійною, рівною потужності немодульованої несучої. Можна показати,що отриманий результат залишається справедливим і для випадку модуляції складним сигналом.