4.6 Спектральний аналіз випадкових процесів

Введене для випадкових процесів поняття спектральної щільності автокореляційної функції, або енергетичний спектр функції B_ф(), можна розглядати як спектральну щільність дисперсії, що є, у свою чергу, середньою потужністю, що виділяється на опорі в 1 ом. Ця потужність розприділяється по частотах в деякій смузі, що залежить від механізму утворення випадкового процесу і форми частотної характеристики ланцюга, через яку пропущений даний процес. Таким чином, розмірність енергетичного спектру є відношенням потужності до смуги частот.

Енергетичний спектр випадкового процесу можна знайти за параметрами імпульсів, які його утворюють. Визначення зводиться до сумування середніх квадратів окремих гармонічних складових (різних імпульсів), тобто енергетичний спектр визначається квадратом модуля спектральної густини елементарного імпульсу і середнім числом цих імпульсів за 1 сек.

Згідно формул (4.34) і (4.35),

. (4.56)

Ліва частина виразу – це формула енергії, що виділяється на опорі в 1 Ом. Допустимо, що f(t) є сумою двох функцій, що мають, кожна своє зображення по Фур’є. Тоді можна записати:

,

Розгортаючи обидві сторони виразу по формулах квадрату суми і використов`уючи рівність подвоєних похідних складових, одержуємо:

.

Припустивши далі, що f₂(t)=f₁(t+) запишемо:

, (4.57)

а прийнявши =0, одержуємо:

. (4.58)

Формула (4.57) визначає автокореляційну функцію - В_ф() через квадрат модуля спектральної щільності функ­ції часу f(t), а формула (4.58) описує зв’язок функції В_ф(0) з энергією. Порівнюючи вирази (4.55) и (4.58), дістанемо:

. (4.59)

Чим менше тривалість імпульсів, що утворять випадковий процес, тим ширше енергетичний спектр процесу. Якщо тривалість імпульсів ринеться до нуля, то енергетичний спектр процесу стає рівномірним для всіх частот. Такий стаціонарний процес із рівномірним енергетичним спектром називається білим шумом.

Розглянуті залежності підтверджують, що автокореляційна функція містить повну інформацію про розподіл енергії процесу по частотах, але не дає зведень про частотний розподіл амплітуд і фаз спектральних складових реалізації процесу.

Шириною енергетичного спектра вважають інтервал частот, для котрого значення Ф₁() ще достатньо великі. Будь-які значення випадкового процесу варто вважати некорельованими лише в тому випадку, якщо процес має нескінченно широкий спектр. Обмеження спектра сигналу завжди збільшує кореляцію.

Частина п’ята дискретизація та квантування

5.1 Дискретизація сигналу – теорема відліків (Котельникова)

Дискретизація функції в часі полягає в заміні даної неперервної функції іншою, решіткоподібною функцією, яка створена шляхом переривання початкової функції. Дискретизація можлива при умові, що новостворенна решіткоподібна функція дає можливість відновити початкову функцію. Ця умова виконується, якщо виконується теорема відліків, яка говорить, що будь-який неперервний сигнал, який має обмежений спектр, повністю визначається своїми дискретними значеннями в моменти відліків, які знаходяться один від одного в часі на інтервали де F_макс – верхня частота обмеженого спектру неперервної функції.

Доведення теореми зводиться до наступного.

Будь – який фізично реальний, обмежений в часі сигнал може бути розглянутий як детермінований і неперіодичний сигнал і тим самим допускає вираження його зворотнім перетворенням Фур’є, тобто.

, (4.27)

де Ф() – перетворення функції f(t) по Фур’є, тобто спектральна густина, або спектральна характеристика, функції f(t), є огибаючою амплітуд, які створюють спектр.

Так як неперервний сингал володіє обмеженим спектром (за формулювання теореми), то Ф() поза верхніми частотами, які обмежують спектр, рівна нулю, і вираз (4.27) приймає вигляд

. (5.1)

В моменти часу , де n – цілі числа, а , записана функція приймає значення

.(5.2)

Спектральна густина функції Ф() – при умові, що ця функція періодично продовжена на всю вісь - в свою чергу може бути подана рядом Фур’є, тобто

. (5.3)

Так як розкладу належить неперервна функція частоти, то період вводиться в вираз для часу, тобто

(5.4)

значить,

. (5.5)

Порівнюючи вирази (5.2) і (5.5), видно, що

. (5.6)

Підставляючи отриманий результат в формулу (5.5) і враховуючи вираз (5.4), отримуємо

. (5.7)

Тоді спектральна функція запишеться так:

. (5.8)

а вираз початкового коливання прийме вигляд

(5.9)

В результаті інтегрування

.(5.10)

Враховуючи, що , і використовуючи формулу Ейлера, дістаємо

. (5.11)

Останнє рівняння в аналітичній формі виражає функцію f(t) через її дискретні значення, взяті в моменти часу t_n, тобто з частотою F₀=2F_макс.

Теорема відліків являє собою в основному деяку математичну абстракцію, так як в ній говориться про сигнал з обмеженим спектром, в той час як будь-який обмежений в часі неперіодичний сигнал володіє безмежним спектром, тому на практиці частота дискретизації береться в 1.25 – 2.5 рази більше розрахованої. Такий вибір являє собою наслідок компромісу між наміром краще відтворити вихідний сигнал і умовою економії ширини полоси при передачі інформації.

В

sin_макс(t-Dt)

_макс(t-Dt)

1.0

0.8

0.6 n=0 n=1 n=2

0.4

0.2

0

 

_макс _макс

ираз (5.11) являє собою дискретизуючу функцію, яка виражена сумою всіх відліків, проведених через інтервали часу t і помножена на відповідну кожному з них функцію відліку, або інтерполяційну функцію. Розглядаючи графіки функцій відліку (рис.5.1), бачимо, що в моменти відліків всі ці функції, крім однієї, мають нульові значення. Функція, для якої t=nt, має максимальне значення, тобто рівна одиниці. Таким чином, як легко передбачити, значення функції в момент кожного відліку визначається виключно значенням цього відліку.

Рисунок 5.1 – Графіки функції відліку

Для визначення будь-якого значення функції в проміжки між відліками необхідно проводити сумування всіх відліків, помножених на відповідні значення функцій відліків, які можуть приймати значення від –0.212 до +1. Більшою перевагою ряду є простота визначення його коєфіцієнтів (відліків). Цей ряд вперше був використаний в 1915 році Уіттакером.

Верхню частоту спектра неперервної функції часто вибирають, виходячи з умов збереження визначеної долі енергії, яка міститься в сигналах, які передаються.