Частина четверта аналітичне уявлення сигналів

4.1 Класифікація сигналів

Для аналізу процесів, що проходять у системах зв’язку, необхідно вміти описувати сигнали математично. У залежності від існуючих можливостей такого опису сигнали підрозділяються на детерміновані (регулярні) і випадкові (нерегулярні).

Детерміновані сигнали - це такі сигнали, що можуть бути подані однозначною функцією часу. Функції часу, у свою чергу, підрозділяються, на періодичні і неперіодичні. Самим простим видом періодичного сигналу є гармонійне коливання, обумовлене вираженням

, при (4.1 )

Строго гармонійне коливання називається монохроматичним: його спектр складається з однієї спектральної лінії. Таких коливанні в природі не існує. Реальні сигнали мають свій початок і кінець, і тому їхній спектр неминуче «розмивається». Будь-який складний періодичний сигнал може бути поданий у виді суми гармонійних коливань із частотами, кратними його основній частоті. Основною характеристикою складного періодичного сигналу є його спектральна функція, що містить інформацію про амплітуди і фази окремих гармонік, що створюють складне коливання.

Неперіодичний детермінований сигнал відрізняється тим, що для нього не існує кінцевого відрізка часу Т, для котрого

(4.2 )

Неперіодичний сигнал обмежений у часу. Його основною характеристикою також є спектральна функція. У порівнянні з періодичним сигналом структура спектра неперіодичного сигналу має деякі особливості.

Випадкові сигнали приймають значення, що точно пророчити неможливо. Коливання, вироблювані деяким конкретним джерелом, можуть бути детермінованими для одного спостерігача (знаючий закон їхній утворення) і випадковими для іншого. Всі сигнали, за допомогою яких передається інформація, із погляду їхнього одержувача, є випадковими, тому що повідомлення про заздалегідь відому

а - дискретні; б - безупинні

Рисунок 4.1 – Випадкові сигнали

подію явно не містить ніякої інформації.

По своїй будові випадкові сигнали можуть бути дискретними або неперервними. Дискретним сигналом називається такий, що може приймати тільки певні, цілком визначені, дискретні кількість значень. Випадковим є тут прийняття сигналом того або іншого з можливих значень. Його дискретність полягає в обмеженості кількості цих значень. Непервний випадковий сигнал на відміну від дискретного може приймати безкінечну кількість різних значень (рис. 4.1).

4.2 Періодичні сигнали

З визначення періодичності випливає, що кожний сигнал (функція), що підходить під це визначення, ставиться до групи детермінованих сигналів. Якщо ця функція, крім того, задовольняє в межах одного періоду так називаним умовам Дірихле, тобто, по-перше, усюди однозначна, кінцева і кусочно-безупинна і, по-друге, має обмежене число максимумів і мінімумів, то її можна подати у вигляді безкінечної суми ортогональних функцій, тобто ортогонального ряду, що має вигляд

, (4.3 )

у який є множиною лінійно-незалежних функцій, тобто таких функцій, жодна з який не може бути виражена лінійною комбінацією інших функцій.

Для математично коректного здійснення розкладання коефіцієнти повинні вибиратися так, щоб виконувався критерій збіжності в середньому або середньому квадратичному, тобто

. (4.4 )

Ця вимога для систем ортогональних або ортонормованних функцій виконується порівняно просто. Ортогональними іменуються функції, що виконують у потрібному для нас проміжку від t₁ до t₂ (протягом одного періоду) умову

, (4.5 )

де nm. Включена у вираз (4.5) функція v(t) називається базової або вагової. Ортонормованними іменуються ті функції, що, крім умови (4.5), виконують також умову

. (4.6 )

Легко переконатися, що основна тригонометрична система функцій 1, cos х:, sin x, cos 2x, sin 2х... ортогональна з ваговою функцією, рівна одиниці, але не ортонормованна.

Розрахунок коефіцієнтів Гц зводиться до такого Обидві сторони вихідного рівняння (4.3) множаться на і v(t) і нтегруються в проміжку від t₁ до t₂ ,тобто

.

У силу ортогональности функцій одержуємо

. (4.7)

Якщо система функцій ортонормована, те знаменник формули (4.7) дорівнює одиниці.

Одним із найбільше поширених засобів представлення детермінованих сигналів є ряд Фур’є:

. (4.8 )

У цьому виразі A₀, a_n і b_n -незалежні від часу коефіцієнти, що варто розуміти як A₀ - середнє значення постійної складового сигналу (функції), а a_n і b_n - амплітуди членів розкладання, або гармонік. Перераховані коефіцієнти обчислюються по формулах

, (4.9 )

, (4.10 )

, (4.11 )

Приведеного виразу отримані шляхом множення обох сторін рівняння ряду Фур’є (4.8) на ту саму тригонометричну функцію (sin nt, cos nt) до інтеграції їх у межах періоду.

Якщо розглянута функція f(t) парна, тобто , то b_n обертається в нуль; якщо непарна, тобто, , те a_n обертаються в нуль.

Представлення функції у вигляді ряду Фур’є є її спектральним виразом, тому що розкриває частотний склад розглянутого сигналу. Спектр періодичної функції називається лінійчатим, або дискретним, тому що складається з окремих ліній, що відповідають дискретним частотам.

Крім приведеної форми запису ряду Фур’є (4.8) поширена також тригонометрична форма, що має перед раніше розглянутої деякої формально-математичної переваги. Вона має вид

. (4.12 )

Її коефіцієнти виражаються через раніше обчислені [див. вирази (4.9) - (4.11)] шляхом нескладних перетворень. З огляду на те, що

одержуємо

отже,

,

або

.

У випадку такого подання сигналу коефіцієнт A_n іменується модулем амплітуди, а _n - фазою відповідної гармоніки.

У ряді випадків вигідно користуватися комплексною модифікацією приведеного ряду (4.8). Її одержують, використовуючи перетворення формули Ейлера, тобто виразу

, (4.15 )

. (4.16 )

Підставляючи ці вирази у формулу (4.8), одержуємо

,

або

.

Виходячи з того, що, відповідно до виразів (4.10) і (4.11),

і з огляду на рівності (4.15) і (4.16), цей вираз можна переписати у вигляді

і аналогічно

.

А відповідно до виразу (4.9)

,

то можливо формулу (4.17) записати у вигляді

, (4.18 )

де

(4.19 )

є комплексною амплітудою n-й гармоніки для .

Формули (4.18) і (4.19) іменуються парою перетворень Фур’є. Друга з них дозволяє знайти спектр, тобто, сукупність гармонійних складових, утворюючих у сумі вихідну функцію f(t). Перша дає можливість обчислити функцію, якщо відомі її гармонійні складові.

Комплексна амплітуда С_n пов’язана з раніше введеними коефіцієнтами в такий спосіб:

. (4.20 )

Виражений формулою (4.18) спектр поширюється на значення n від - до + , тобто як на позитивні, так і на відємні частоти. Звісно негативні частоти в природі не існують. У отриманому виразі вони мають чисто формальний, математичний характер, обумовлений застосуванням, комплексної форми запису для представлення реальної функції часу.

Однією із найважливіших властивостей періодичного сигналу є те, що повна потужність, що виділяється їм на якийсь навантаженні (заради спрощення розрахунку звичайно розглядається потужність, що виділяється на опорі в 1 Ом), є сумою середніх потужностей, що виділяються постійною складовою і кожною з гармонік сигналу окремо. Таким чином, по огибаючій гармонік можна судити про розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Довести викладене можна, базуючись на тому, що розкладання функції в ряд Фур’є дає ряд ортогональних функцій. Так,

, (4.21)

де означає усереднене в часі значення. Опір навантаження прийнято рівним 1 ом. Підставляючи у вираз (4.21) замість функції її розклад в ряд Фур’є (4.8), дістаєм

.

Отже, одержуємо суму інтегралів, що містять такі члени: 1) ;

2) ;

3) ;

4) добутки косинусів і синусів, що мають аргументи неоднакової кратності. Ці останні при інтегруванні в межах періоду в силу умови ортогональности перетворюються в нуль. Таким чином, вираз (4.22) приймає вид

або

. (4.23)