Размещения с повторениями.

Пусть имеем множество М, состоящее из п элементов любой природы. Кортеж длины k, составленных из элементов этого множества, называется размещением с повторениями. Здесь необязательно k  п.

Определение 5. Кортеж длины k, составленный из элементов п–элементного множества, называется размещением с повторениями из п элементов по k.

Число всевозможных размещений с повторениями из п элементов по k будем обозначать символом .

Теорема 5. Число различных размещений с повторениями из п элементов по k определяется по формуле: = n^k.

Доказательство. Поскольку каждый кортеж длины k, составленный из элементов множества М, является элементом декартова произведения , то число всех таких кортежей равно численности этого декартова произведения. Можем записать:

.

Задание 14. На диск секретного замка нанесены 10 цифр, шифр состоит из 4 цифр. Сколько неудачных попыток может сделать человек, не знающий шифра?

Решение. Общее число комбинаций равно 10⁴ = 10 000. Значит наибольшее число неудачных попыток равно 9 999.

Ответ: 9 999.

Задание 15. Сколькими способами можно разложить 6 ёлочных игрушек в 8 коробок?

Решение. Находим число размещений с повторениями из 8 элементов по 6:

= 8⁶ = 262144.

Ответ. 262144.

Сочетания с повторениями.

Рассмотрим следующую комбинаторную задачу.

Задание 16. В почтовом отделении продаются открытки четырёх видов. Сколькими способами можно купить здесь 9 открыток?

Эта задача не является задачей на размещения с повторениями, так как порядок, в котором выбираются открытки, не является существенным. Она ближе к задачам на сочетание, но в этих сочетаниях элементы могут повторяться (например, можно купить все 9 открыток одного сорта).

Такие задачи называют задачами на сочетания с повторениями. Общая формулировка этих задач такова:

Имеются элементы п различных типов. Сколько совокупностей, содержащих по k элементов каждая, можно составить из них, если не принимать во внимание порядок элементов в совокупности?

Определение 6. Сочетанием с повторениями из данных п различных типов по k элементов называется всякая совокупность, содержащая k элементов, каждый из которых является одним из элементов указанных типов.

Различные сочетания с повторениями из данных п элементов по k элементов, как и сочетания без повторений, отличаются друг от друга составом элементов, входящих в них. Число различных сочетаний с повторениями из п элементов по k элементов будем обозначать символом .

Теорема 6. Число различных сочетаний с повторениями из п типов элементов по k элементов определяется по формуле = .

Доказательство. Пусть а₁, а₂, …, а_n – п различных типов элементов. Каждому сочетанию с повторениями из п по k поставим в соответствие комбинацию из нулей и единиц, составленную по следующему правилу: Запишем столько единиц, сколько раз элемент а₁ входит в данное сочетание, затем запишем один нуль. После первого нуля запишем столько единиц, сколько раз элемент а₂ входит в это сочетание, затем запишем ещё один нуль. После второго нуля запишем столько единиц, сколько раз элемент а₃ входит в сочетание, и так далее. После последнего

(п – 1)-го нуля запишем столько единиц, сколько раз элемент а_n входит в данное сочетание с повторениями. Если какой-то тип элементов из п указанных не входит в сочетание, то на соответствующем месте в комбинации единицы не пишутся, то есть нуль может стоять, по крайней мере, два раза подряд. Очевидно, что построенные таким образом комбинации, являются перестановками с повторениями из нулей и единиц. Таким образом, всякому сочетанию с повторениями ставится в соответствие перестановка с повторениями из элементов 0 и 1, в которой 0 повторяется (п – 1) раз, а 1 повторяется k раз. Легко показать, что указанное соответствие является биекцией (взаимно однозначным соответствием), а следовательно, число различных сочетаний с повторениями из п элементов по k элементов равно числу различных перестановок с повторениями из элементов 0 и 1, в каждой из которых 0 повторяется (п–1) раз, а 1 повторяется k раз, то есть

= P(n - 1, k) = .

Теорема доказана.

Решение задания 16. Применяем полученную формулу. Очевидно, что число способов купить открытки равно числу различных сочетаний с повторениями из 4 элементов по 9, то есть равно

= =220.

Ответ: 220 вариантов.

Задание 17. Клоун выбирает для выступления 5 воздушных шариков и 7 цветков. Сколькими способами он может это сделать, если в наличии есть воздушные шарики 3 цветов и цветы 4 видов?

Решение. Посчитаем, сколькими способами он может выбрать шарики:

= =21.

Посчитаем, сколькими способами он может выбрать цветы:

= = 120.

По правилу произведения находим общее количество способов выбора реквизита для выступления: 21120 = 2520.

Ответ: 2520 способов.

Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения

9