Перестановки с повторениями.

В практике решения задач часто встречаются перестановки, размещения и сочетания, в которых элементы повторяются. Если среди переставляемых элементов есть одинаковые, то перестановок получается меньше, так как некоторые перестановки совпадают друг с другом. Например, переставляя буквы слова «ОНА», мы получим 6 различных перестановок:

ОНА	НОА	ОАН
АНО	НАО	АОН

Если теперь вместо слова «ОНА» взять слово «ОНО» и во всех выписанных перестановках заменить букву «А» буквой «О», то окажется, что некоторые перестановки будут одинаковыми.

ОНО	НОО	ООН
ОНО	НОО	ООН

Так из двух слов 1-го столбца получим одно слово «ОНО», из двух слов 2-го столбца – слово «НОО», а из двух слов 3-го столбца – слово «ООН». Итак, число различных перестановок из букв слова «ОНО» равно 6 : 2 = 3.

Эта задача может быть сформулирована в общем виде следующим образом:

Пусть имеется выборка из n элементов, причем k элементов из них - одинаковые. Сколько различных перестановок из n элементов можно составить?

Так как общее число перестановок равно n!, а перестановок из k одинаковых элементов – k!, то число различных перестановок (n!) : ( k!).

Число различных перестановок на элементах такой выборки равно:

(число перестановок с k повторениями на множестве из n элементов).

Задание 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1, 3, 5, при условии, что цифра 3 повторяется три раза?

Решение. У нас есть выборка из 5 элементов: (1, 3, 3, 3, 5), три из которых повторяются. Значит,

Р_n(k) = = 5  4 = 20.

Ответ: 20 чисел.

В общем виде задача формулируется так:

Имеются элементы k различных типов: a, b, … , l. Определить число всех возможных перестановок этих элементов, если элемент а повторяется п₁ раз, элемент b – п₂ раз и так далее, элемент l – п_k раз.

Определение 4. Перестановкой с повторениями из элементов a, b, … , l, в которой эти элементы повторяются соответственно п₁, п₂, … , п_k раз, называется кортеж длины п = п₁ + п₂ + … + п_k, среди компонент которого а встречается п₁ раз, b – п₂ раз и так далее, элемент l – п_k раз.

Обозначают число перестановок с повторениями символом Р(п₁, п₂, … , п_k).

Теорема 4. Число различных перестановок с повторениями из элементов a, b, … , l, в которых эти элементы повторяются соответственно п₁, п₂, … , п_k раз, определяется по формуле .

Доказательство. Если занумеровать все элементы ; все элементы и так далее; все элементы , а затем считать элементы с разными номерами различными, то число всех перестановок равно (п₁ + п₂ + … + п_k)! = n!. Если затем снять номера, то среди п! перестановок будут и одинаковые. Перестановки, отличающиеся расположением элементов а, совпадут, таких перестановок будет . Перестановки отличающиеся расположением элементов b, тоже совпадут, и их будет . И так далее. Наконец, перестановки, отличающиеся расположением элементов l, тоже будут совпадать. Число их равно . Поскольку перестановки указанных типов можно делать независимо друг от друга, то по правилу произведения число их равно п₁! п₂! …. п_k!. Таким образом, в числе п! каждая перестановка с повторениями встречается п₁! п₂! …. п_k! раз. Поэтому число различных перестановок с повторениями равно . Теорема доказана.

Задание 13. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 3, 5 при условии, что цифра 1 повторяется в каждом числе четыре раза, цифры 3 и 5 – по 2 раза?

Решение. Искомое число, очевидно, является числом различных перестановок с повторениями из цифр 1, 3, 5, в которых цифра 1 повторяется четыре раза, цифры 3 и 5 – по два раза. Поэтому найдем .

Ответ: 420 чисел.