Размещения без повторений.

Рассмотрим комбинаторную задачу, связанную с выбором упорядоченных подмножеств некоторого конечного множества. Общая формулировка этой задачи такова:

Имеется множество, состоящее из п элементов. Сколько можно составить упорядоченных подмножеств, содержащих k его элементов?

Определение 2. Всякое упорядоченное k–элементное подмножество п-элементного множества (k  п) называется размещением из п элементов по k.

Как следует из определения, два размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Число различных размещений из п элементов по k элементов обозначают символом , говорят «А из п по k». Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Число различных размещений из п элементов по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является п, то есть

или

Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1 замечаем, что на первое место в упорядоченном k–элементном подмножестве п–элементного множества можно поставить любой из п элементов. На второе место элемент можно выбрать (п–1) способами, на третье (п–2) способами и так далее. На последнее (k–тое) место можно поставить любой из оставшихся

п – (k – 1) = п – k + 1 элементов. Применяя правило произведения, можем записать: .

Последнюю формулу можно записать иначе. Умножим и разделим правую часть равенства на 1  2  3  …  (п – k), тогда

Теорема доказана.

Задание 9. Сколькими способами можно распределить 5 путёвок в различные дома отдыха, если хотят получить путевку 12 человек?

Решение. Поскольку из 12 человек нужно выбрать 5, а затем распределить между ними различные путёвки, то искомое число способов определяется так:

.

Ответ: 95040 способами.

Задание 10. Для обозначения отрезка на чертеже используют большие латинские буквы. Сколько способов для записи обозначения отрезка существует?

Решение. Так как в латинском алфавите 26 букв и надо выбирать по 2, то число вариантов равно: = 650.

Ответ: 650.

Сочетания без повторений.

При составлении k–элементных подмножеств п–элементного множества нас не всегда интересует порядок, в котором располагаются элементы. Например, если имеется 10 сортов ткани и нужно выбрать 4 сорта, то порядок, в котором выбирались сорта, значения не имеет. В таких задачах речь идёт о подмножествах, не являющихся упорядоченными.

Определение 3. Всякое k – элементное подмножество п–элементного множества (k  n) называется сочетанием из п элементов по k.

Как следует из определения, два сочетания считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Порядок элементов в сочетании значения не имеет. Число различных сочетаний из п элементов по k обозначается символом (читают «С из п по k»).

Теорема 3. Число сочетаний из п элементов по k элементов определяется по формуле:

.

Доказательство. Формула для числа сочетаний легко получается из формул для расчёта числа размещений и числа перестановок. Действительно, составив сначала все сочетания из п элементов всеми возможными способами, получим все размещения из п элементов по k элементов. Но из каждого такого сочетания можно составить k! перестановок, а число этих сочетаний равно . Таким образом, справедлива следующая формула . Из этой формулы находим . Тем самым теорема доказана.

Учителю: вернитесь к задаче 10, теперь переформулируйте вопрос так: сколько различных отрезков можно обозначить? Очевидно, что 325(650:2).

Задание 11. В классе 25 человек, сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в беге на 100 м? Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100+200+300+400?

Решение. Выбор участников бега на 100 м можно осуществить способами, так как порядок участников в этом случае не имеет значения. Выбор участников эстафеты можно осуществить способами, так как в этом случае участников команды расставляют в определённом порядке.

Ответ: 12650 способами, 303600 способами.

СОЕДИНЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ