Перестановки без повторений.
Пусть мы имеем множество М, состоящее из n элементов любой природы. Упорядочим это множество, пронумеровав некоторым образом его элементы. Получим кортеж длины n с попарно различными элементами, который называют перестановкой из п элементов.
Определение 1. Всякое упорядоченное п–элементное множество называется перестановкой из п элементов.
Одно и то же множество можно упорядочить различными способами. Например, множество школьников класса можно упорядочить по возрасту, росту, алфавиту, успеваемости и так далее. Естественно поставить вопрос: Сколькими способами можно упорядочить множество М, содержащее п элементов?
Ответ на этот вопрос сводится к решению комбинаторной задачи: Определить число всех возможных перестановок из п элементов.
Обозначают число всех перестановок из п элементов специальным символом Рп.
Если множество {a, b} состоит из двух элементов, то очевидно, что упорядочить его можно двумя способами {a, b} и {b, a}, то есть Р2 = 2.
Если же множество {a, b, с} состоит из трёх элементов, то упорядочить его можно шестью способами. Действительно, существует 3 способа выбрать элемент на первое место, после этого выбора существует 2 способа выбрать элемент на второе место и один способ – на третье место. Всего по правилу произведения существует 3 2 1 способов упорядочить множество {a, b, с}, то есть Р3 = 3 2 1 = 6. Выписывая всевозможные перестановки из элементов этого множества, легко убедиться в справедливости проведённых рассуждений. В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Число различных перестановок из п элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до п включительно, то есть
Рп = 1 2 3 … п = п !
Доказательство. При упорядочении п–элементного множества какой-то элемент получит номер один, какой-то – номер два и так далее, какой-то из элементов получит номер п. Номер один может получить любой из элементов множества. Значит выбор первого элемента можно сделать п способами. Вторым элементом может быть любой из оставшихся, а значит, его можно выбрать (п – 1) способами. Третий элемент можно выбрать (п – 2) способами и так далее. Наконец, на последнее место останется только один элемент, а значит выбрать его можно только одним способом. По правилу произведения получаем, что общее число всевозможных перестановок из п элементов определяется по формуле
Рп = п (п – 1) (п – 2) (п – 3) … 1 = п !
Задание 6. Сколькими способами можно разложить 8 пар туфель по 8 коробкам?
Решение. Число вариантов равно числу перестановок из 8 элементов, т.е. Р8.
Р8 = 8! = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8 = 40320.
Ответ: 40320 способов.
Задание 7. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, если ни одна цифра в записи числа не повторяется дважды?
Решение. Число всех возможных перестановок из пяти цифр равно Р5 = 5!. А поскольку цифра нуль не может занимать первое место, то искомое число есть: Р5 – Р4 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96 (Р4-число возможных перестановок из четырех цифр, которые могут стоять на 2-5 местах в числе, когда нуль стоит на первом месте).
Ответ: 96 чисел.
Задание 8 (К-2005). По определению, n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · 4! · …· 100!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
(A) 13! (B) 42! (C) 47! (D) 50! (E) это невозможно
Учителю. Это задание можно использовать как дополнительное для развития навыков работы с факториалом.
Решение. Преобразуем произведение следующим образом:
1! · (1! · 2) · 3! · (3! · 4) · 5! · (5! · 6) · … · 19!· (19! · 20) · … · 99!· (99! · 100) =
(1! · 3! · 5! · … · 99!)2 · (2 · 4 · 6 · … · 100) =
(1! · 3! · 5! · … · 99!)2 · (2 · (2 · 2)· (2 · 3) · (2 · 4)· … · (2 · 50)) =
(1! · 3! · 5! · … · 99!)2 · 250 · (1· 2 · 3 · 4· … · 50) = (1! · 3! · 5! · … · 99!)2 · 250 · 50!.
Первые два множителя являются квадратами, значит, если мы вычеркнем 50!, мы получим из оставшихся множителей квадрат натурального числа.
Ответ: D.