Дистанционная математическая школа

Код курса М 4

9-10 классы

Модуль 3. Элементы комбинаторики

Понятие о комбинаторной задаче.

Комбинаторика (или теория соединений) – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Как раздел математики комбинаторика возникла в XVI веке. Одним из первых решением комбинаторных задач занялся итальянский математик Н. Тарталья (1500 – 1557). Дальнейшее развитие комбинаторики связано с трудами Б. Паскаля (1623 – 1662) и П. Ферма (1601 – 1665) по теории азартных игр. Позднее крупный вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (1646 – 1716), Я. Бернулли (1654 – 1705) и Л. Эйлером (1707 – 1783).

Возрождение интереса к комбинаторике относится к 50-м годам XX века. Это связано с развитием кибернетики и дискретной математики. Развитие компьютерных технологий возродило интерес к классическим комбинаторным задачам.

Обычно комбинаторные задачи связаны с операциями над конечными множествами.

Некоторые из этих операций и задач:

1. Упорядочение конечного множества. Эта операция приводит к понятию перестановки из n элементов и к задаче определения числа всех возможных перестановок из n элементов.

2. Выбор подмножеств некоторого конечного множества. Это приводит к понятию сочетания и к задаче определения числа всех возможных сочетаний из n элементов по k элементов.

3. Выбор упорядоченных подмножеств некоторого конечного множества. Это приводит к понятию размещения и к задаче определения числа всех возможных размещений из n элементов по k элементов.

Правило суммы и произведения.

Решение многих задач в комбинаторике основано на применении двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Рассмотрим следующую задачу:

Задание 1. В вазе для фруктов лежат 8 слив и 6 абрикосов. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. Понятно, что можно взять одну из восьми слив (8 способов) или один из шести абрикосов (еще шесть способов). Всего 14 способов.

Ответ: 14 способов.

Эту задачу можно перевести на язык теории множеств и сформулировать в общем виде: имеются два конечных множества А = {a₁, a₂, … , a_k} и В = {b₁, b₂, … , b_m}, не имеющие общих элементов. Сколькими способами можно выбрать объект, принадлежащий либо А, либо В?

Так как А  В = , то {х | х  А  х  В} = А  В, а тогда n (А  В) = n (А) + n (В) = k + m.

Это утверждение в комбинаторике называют правилом суммы:

Если элемент а можно выбрать k способами, а элемент b можно выбрать m способами, причём ни один из способов выбора элемента а не совпадает со способом выбора элемента b, то выбор «либо а, либо b» («или а, или b) можно осуществить k + m способами.

Правило суммы легко распространяется на тот случай, когда число попарно непересекающихся множеств более двух.

Используя правило суммы, решение первой задачи можно сформулировать так: по правилу суммы существует 8 + 6 = 14 способов выбрать один плод.

Задание 2. Сколько можно составить различных двузначных чисел, в записи которых цифра 7 используется один раз?

Решение. Цифра 7 может стоять в разряде десятков, тогда в разряде единиц может стоять любая из 9 цифр (кроме 7). Цифра 7 может стоять в разряде единиц, тогда в разряде десятков может стоять любая из 8 цифр (кроме 0 и 7).

Тогда по правилу сложения всего чисел: 9+8 = 17.

Ответ: 17 чисел.

Учителю. Обратите внимание учащихся, что для подсчета вариантов, мы множество искомых чисел разбили на 2 непересекающихся подмножества и посчитали количество вариантов для каждого случая отдельно. Такое разбиение называется классификацией и часто используется в комбинаторных задачах.

Рассмотрим следующую задачу:

Задание 3. В меню столовой имеются 4 вида первых блюд и 6 видов вторых. Сколькими способами можно выбрать обед, состоящий из одного первого и одного второго блюда?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 4 способами, при этом для каждого из четырех вариантов можно второе блюдо выбрать 6 способами. То есть всего разных сочетаний первого и второго блюда 24 (6  4).

Ответ: 24 способа.

Решение этой задачи сводится к подсчёту числа упорядоченных пар, когда известно число способов выбора первой компоненты и второй.

Пусть мы имеем множества А = {a₁, a₂, … , a_k} и В = {b₁, b₂, … , b_m}.

Декартовым произведением множества А на множество В называется множество АВ, образованное всеми упорядоченными парами, первые элементы которых принадлежат множеству А, а вторые – множеству В:

АВ = {(a,b) aA, bB}

Примером декартова произведения является множество RR – множество точек координатной плоскости (х, у), где хR и уR.

Количество элементов декартова произведения двух конечных множеств находится по формуле: N (АВ) = n (А)  n (В) = k  m.

Правило произведения:

Если элемент а можно выбрать k способами, и если после каждого такого выбора элемент b можно выбрать m способами, то выбор упорядоченной пары (a, b), то есть выбор «и а, и b» можно осуществить m  k способами.

Задание 4. Сколько существует различных двузначных чисел в семеричной системе счисления?

Решение. В семеричной системе всего используется семь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. На первом месте может стоять любая из шести (кроме 0), на втором любая из 7.

Всего по правилу произведения чисел может получиться: 6  7 = 42.

Ответ: 42 числа.

То есть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Все упорядоченные пары декартова произведения (a, b) и составляют все двузначные числа в семеричной системе счисления.

А если множеств более двух?

Рассмотрим понятие кортежа.

Пусть даны множества Х₁, …, Х_n. Кортежем длины п, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность  = (х₁, …, х_n), где для всех k, 1  k  п, имеем: х_k  X_k. Элемент х_k называется k-й координатой (или k-й компонентой) кортежа .

Например, из множеств {a, b, c} и {1, 2} можно составить 6 кортежей длины 2:

(а, 1), (а, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2).

Учителю. Обратите внимание учащихся на то, что множество всех кортежей длиной 2 есть декартово произведение исходных множеств.

Любое слово является кортежем, составленным из букв, десятичная запись любого натурального числа – кортежем, составленным из цифр, и т. д.

Любое упорядоченное конечное множество является кортежем, все координаты которого различны.

Учителю. Предложите учащимся придумать примеры кортежей разной длины (телефонные номера, номер рейса самолета, пароль и т.д.)

Кортежи длины 2 называют упорядоченными парами, длины 3 – упорядоченными тройками, …, длины п – упорядоченными п-ками. Для краткости речи слово «упорядоченные» часто опускают.

Правило произведения легко распространяется на случай выбора кортежа любой конечной длины.

Задание 5 (Кенгуру-1999). Сколько путей (идущих по стрелкам) ведут из А в D?

( A) 13 (B) 40 (C) 42 (D) 26 (E) 33.

Решение. Все возможные пути разделим на группы:

1. А-В-D; 2. А-С-D; 3. А-С-В-D.

Посчитаем количество путей в каждой группе.

1. 3  4 = 12.

2. 3  3 = 9.

3. 3  1  4 = 12.

Найдем общее количество путей: 12 + 9 + 12 = 33.

Ответ: B.

При решении данной задачи все возможные пути были классифицированы на группы, применялось и правило произведения (в каждой группе) и правило суммы (нахождения общего количество путей). Так происходит при решении многих комбинаторных задач.

СОЕДИНЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ