Глава 3. Введение в динамику системы

3.1. Основные понятия

Под механической системой понимают совокупность материальных точек, связанных друг с другом.

В зависимости от того, насколько прочно связаны точки системы, они могут образовать тот или иной материальный объект – от абсолютно твердого тела до системы точек вообще не связанных друг с другом.

Все силы, действующие на i-ую точку системы, делятся на два класса.

Внешними – F_i^(e) называются силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему.

Внутренними – F_i⁽ⁱ⁾ называются силы, действующие со стороны других тел той же системы.

 Например, для механической системы, состоящей из двух тел – Земли и Луны, силы их взаимного притяжения F_зл и F_лз , приложенные к Земле и Луне соответственно будут внутренними силами системы, а силы притяжения, приложенные к ним со стороны Солнца – F_зс и F_лс – внешними. 

На основании аксиомы 3 внутренние силы системы попарно равны и противоположно направлены, поэтому главный вектор и главный момент внутренних сил системы равны нулю:

R⁽ⁱ⁾ = F_i⁽ⁱ⁾ = 0;

M_o⁽ⁱ⁾ = M_o(F_i⁽ⁱ⁾) = (r_i F_i⁽ⁱ⁾) = 0.

В общем случае, предполагается, что положение и движение каждой точки системы может влиять на положение и движение остальных.

Однако даже в том случае, когда точки системы не связаны друг с другом, i-ая точка системы не будет свободной, если она не может занимать в пространстве произвольное положение.

Определение. Условия, ограничивающие свободу перемещения точки системы, называются связями.

В простейшем случае связь – это линия или поверхность, по которой может перемещаться точка. Уравнение такой поверхности:

f(x,y,z) = 0 (3.1)

называется уравнением связи. Этому уравнению должны удовлетворять координаты движущейся точки.

Однако понятие связи в динамике шире, чем в статике. Например, поверхность, представляющая собой связь, может меняться во времени. И в общем случае уравнение связи имеет вид:

. (3.2)

Таким образом, движение точки, на которую действует сила сопротивления, пропорциональная скорости, также представляет пример точки с наложенной на нее связью.

Все силы, действующие на i-ую точку системы, делят, как и в статике, на активные и реакции связей.

Реакции связей в динамике, в отличие от статики, зависят не только от активных сил, но и от характера движения тела.

Классификацию связей можно проводить по различным признакам.

По зависимости от скорости связи делятся на:

– голономные или геометрические – уравнения таких связей не зависят от скорости точки;

– неголономные – это связи, которые зависят от скорости.

По зависимости от времени связи подразделяются на:

– стационарные связи, которые не зависят явно от времени;

– нестационарные, уравнения которых зависят от времени;

В зависимости от конструктивных особенностей различают:

– неудерживающие или односторонние;

– удерживающие или двусторонние связи.

 Примером последней связи служит точка на конце стержня длиной l, закрепленного шарнирно в центре O и вращающегося в плоскости xOy.

Такая геометрическая, стационарная и двусторонняя связь описывается уравнением:

x² + y² – l² = 0.

Если вместо стержня взять гибкую нить, получим пример односторонней связи:

x² + y² – l² ≤ 0. 

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением голономных механических систем.