2) Поле упругой силы. Элементарная работа силы этого поля будет равна:

A = Fdr = – crdr = – d(cr²/2) = – d,

то есть поле потенциально, его потенциальная энергия имеет вид:

 = cr²/2 + const = (c/2)(x² + y² + z²) + const,

а эквипотенциальными поверхностями будут сферы: r = const (рис. 8.2).

При этом

F = – cr = – grad (cr²/2),

A₁₂ = ₁ – ₂.

8.4. Закон сохранения механической энергии

Теорема. При движении системы в потенциальном поле сил ее полная механическая энергия остается постоянной:

T +  = const. (8.3)

Доказательство. Теорема об изменении кинетической энергии системы:

T₂ – T₁ = A₁₂

для потенциального поля сил примет вид:

T₂ – T₁ = ₁ – ₂,

или

T₁ + ₁ = T₂ + ₂

откуда и следует (8.3).

Глава 9. Принцип даламбера

В этой главе мы ответим на вопросы, что такое центробежная сила и существуют ли так называемые силы инерции?

Принцип Даламбера, к рассмотрению которого мы приступаем, существенно отличается от общих теорем динамики.

Если последние позволяют получить первый интеграл и продвинуться на один шаг в решении задачи Коши для дифференциального уравнения движения, то принцип Даламбера в математическом аспекте ничем не отличается от основного уравнения динамики.

Однако этот принцип имеет важное методологическое значение, позволяя свести по форме решение первой задачи динамики к задаче статики, что особенно привлекательно для студентов строительных специальностей.

Кроме того, этот принцип находит эффективное применение совместно с принципом возможных перемещений, рассмотренным в следующей главе.

9.1. Принцип Даламбера для точки

Рассмотрим точку M с массой m, движущуюся под действием силы F. Основное уравнение динамики для этой точки:

ma = F (9.1)

можно записать в виде:

F + Φ = 0, (9.2)

где Φ – сила инерции или даламберова сила. Таким образом:

В каждый момент времени сумма всех сил, действующих на точку и силы инерции равна нулю.

Уравнение (9.2) по форме совпадает с уравнением статики и его применение нередко оказывается более удобным, чем использование уравнения (9.1).

9.2. Принцип Даламбера для системы

Рассмотрим систему n материальных точек M_i c массами m_i . Записывая уравнение (9.2) для каждой i – ой точки:

F_i^(e) + F_i⁽ⁱ⁾ + Φ_i = 0, (9.3)

а затем, суммируя по всем точкам системы, получим:

R^(e) + Φ_o = 0, (9.4)

где R^(e) = ΣF_i^(e) – главный вектор внешних сил, а Φ_o = ΣΦ_i – главный вектор сил инерции системы.

Умножив (9.3) векторно слева на радиус-вектор r_i , а затем, просуммировав по всем точкам системы, получим:

M_o^(e) + M_o^ин = 0, (9.5)

где M_o^(e) = Σ(r_i × F_i^(e)) – главный момент внешних сил, а M_o^ин = Σ(r_i × Φ_i) – главный момент сил инерции системы относительно центра приведения O. Таким образом:

В каждый момент времени сумма главного вектора внешних сил и главного вектора сил инерции, а также сумма главного момента внешних сил и главного момента сил инерции равны нулю.

Главный вектор и главный момент сил инерции можно выразить через кинематические параметры системы, если сначала с помощью (9.4) и (9.5) выразить их через приложенную к системе нагрузку, а затем воспользоваться теоремой об изменении количества движения системы (5.6):

dQ/dt = R^(e)

и теоремой об изменении кинетического момента системы (6.6):

dK_o /dt = M_o^(e)

Соответствующие формулы с учетом (5.9) примут вид:

Φ_o = – dQ /dt = – Ma_c , (9.6)

M_o^ин = – dK_o /dt, (9.7)

где в (9.6) M – масса системы, a_c – ускорение центра масс.

Примечания:

1. Главный вектор Φ_o не зависит, а главный момент M_o^ин зависит от выбора центра приведения.

2. Два векторных уравнения (9.4) и (9.5) эквивалентны трем скалярным на плоскости и шести скалярным в пространстве.