15.3 Собственные частоты и собственных формы колебаний
Будем искать решение уравнения (15.9) при начальных условиях:
{q(0)} = {q0};
{
(0)}
= {
} (15.10)
в виде:
{q(t)} = {A}sin(ωt + α) (15.11)
где {A}= [A1, A2, … , As]T – вектор амплитуд.
Подставляя
{ } = – {A} ω2 sin(ωt + α)
в (15.9), получим:
([D][A] – λ[E]) {A} = 0, (15.12)
где λ = (1/ω2).
Последнее соотношение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Условие ненулевого решения:
det ( [D][A] – λ[E]) = 0 (15.13)
в скалярном виде для примера 15.1 имеет вид:
δ11M1 – λ |
δ
(15.13′)
= 0. |
δ21M1 |
δ22M2 – λ |
Раскрывая (15.13) получим алгебраическое уравнение:
λS + a1λS–1 + a2λS–2 + … + aS = 0,
которое называется характеристическим или частотным. Его корни:
ω1 < ω2 < … < ωS
образуют спектр собственных частот.
Таким образом, система с s степенями свободы имеет s собственных частот.
Для каждой ωk из уравнения (15.12) можно найти вектор
{A(k)} = [A1(k), A2(k), … , As(k)]T,
который называется собственным вектором системы.
В силу однородности (15.12) ее решением будет также Ck{A(k)}, то есть фактически решение системы (15.12) можно найти только с точностью до отношения:
A1(k) : A2(k) : … : As(k).
Подставляя {A(k)} в (15.11), получим:
{q(k)(t)} = {A(k)}sin(ωk t + αk).
Общим решением (15.9) будет:
{q(t)} = Ck{A(k)} sin(ωk t + αk),
где Ck , αk – константы, определяемые из начальных условий (15.10). Последние можно задать так, что в системе будут происходить колебания с какой-либо одной частотой ωk . Такие колебания называются собственными или главными. Собственные формы колебаний, соответствующие частоте ω1 и ω2 в примере 15.1 показаны на рис. 16.1, а и 16.1, б соответственно.
Для того чтобы в системе происходили главные колебания с частотой ωk , нужно задать начальные условия: {q(0)} = {A(k)}; { (0)} = {0}.
Примечания:
Е
сли
в матричном уравнении (15.8) одновременно
привести к диагональному виду матрицу
[A]
и матрицу [С],
соответствующая ему система
дифференциальных уравнений распадется
на отдельные уравнения, и мы получим
дифференциальные уравнения колебаний
в главных или «нормальных» координатах.
Это будет означать, что решение одной
сложной задачи с s
степенями свободы мы свели к рассмотрению
s
простых задач с одной степенью свободы
каждая.В примере 15.1 главные колебания с основной частотой системы ω1 , соответствуют движению масс M1 и M2 в фазе, – они одновременно проходят положение равновесия и одновременно удаляются от него на максимальное расстояние. В колебаниях, происходящих с частотой ω2, массы M1 и M2 движутся в противофазе.
Литература
Диевский В.А. Теоретическая механика: Учебное пособие. 2-е изд., испр. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 320 с.
Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н. Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2002. – 84с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, том II. Динамика. – М.: ГИТТЛ, 1955. – 595 с.
Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. - М.: Наука, 1986. - 448 с.
Сб. заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. А.А.Яблонского. - М. Высш. школа, 1985 - 367 с.