Глава 15. Малые колебания систем

С S СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

15.1 Кинетическая и потенциальная энергия системы

Рассмотрим систему с s степенями свободы, подчиненную стационарным связям и помещенную в потенциальное поле сил.

В этом случае, как отмечалось в §12.5, ее кинетическая энергия имеет вид:

T = (1/2) A_ij ,

где коэффициенты A_ij зависят только от обобщенных координат q₁, q₂,…, q_s . Разложим их в ряд в окрестности положения равновесия: q₁ = q₂ = … = q_s = 0:

A_ij = A_ij|₀ + (∂A_ij /∂q_i)|₀ ·q_i + (1/2) (∂²A_ij /∂q_i ∂q_j)|₀ ·q_i q_j +… .

Ограничиваясь константами и обозначая

A_ij|₀ = a_ij ,

получим:

T = (1/2) a_ij , (15.1)

где a_ij – инерционные коэффициенты.

Поступим аналогично с выражением потенциальной энергии системы:

Π = Π|₀ + (∂Π/∂q_i)|₀ ·q_i + (1/2) (∂²Π/∂q_i ∂q_j)|₀ ·q_i q_j +… .

Полагая Π|₀ = Π(0,0,…,0) = 0, учитывая, что (∂Π /∂q_i)|₀ = 0 и обозначая

(∂²Π /∂q_i ∂q_j)|₀ = c_ij ,

придем к выражению:

Π = (1/2) c_ij q_i q_j , (15.2)

где c_ij – коэффициенты жесткости или коэффициенты упругости.

Таким образом, как кинетическая (15.1), так и потенциальная (15.2) энергия при малых колебаниях системы являются квадратичными формами, которые можно представить в удобном для дальнейшего изучения виде, если ввести в рассмотрение следующие матричные операторы.

1) Прямоугольная матрица размерами (m×n), состоящая из m строк и n столбцов:

[A] = [a_ij] = ,

и, в частности:

2) Матрица-строка размерами (1×n), состоящая из одной строки и n столбцов:

[A] = ;

3) Матрица-столбец (вектор) размерами (m×1), состоящий из m строк и одного столбца, который будем обозначать фигурными скобками и который при помощи операции транспонирования можно записать в виде:

{A} = = [a₁₁ a₂₁ … a_m1]^T = {a₁₁ a₂₁ … a_m1};

4) Квадратная матрица порядка m размерами (m×m), в частности:

5) Диагональная матрица порядка m, у которой отличны от нуля только элементы на главной диагонали, то есть a_ij = 0, если i ≠ j и, в частности:

6) Единичная матрица порядка m:

[E] = .

Напомним основные операции с матрицами.

1. Сложение – эта операция определена для прямоугольных матриц одного размера: [A] (m×n) и [B] (m×n): [C] = [A] + [B], при этом

c_ij = a_ij + b_ij .

2. Умножение – эта операция определена для матриц соответствующего размера [A] (m×n) и [B] (n×l): [C] = [A]·[B], при этом

c_ij = .

В частности, если вектор {A} (m×1) умножить на матрицу-строку [B] (1×l), то получим прямоугольную матрицу [C] (m×l). А если матрицу-строку [A] (1×n) умножить на вектор {B} (n×1), получим матрицу первого порядка, то есть скаляр. Напомним, что в общем случае [A]·[B] ≠ [B]·[A].

3. Транспонирование – эта операция для матрицы [A] (m×n) определена так: [A]^T = [B] (n×m), где b_ij = a_ji . При этом:

([A]·[B])^T = [B]^T·[A]^T .

4. Нахождение обратной матрицы. Для матрицы [A] (m×m), определитель которой не равен нулю, существует и единственна матрица [A]^–1, такая, что

[A]·[A]^–1 = [A]^–1·[A] = [E],

где [E] – единичная матрица. Отметим, что

([A]^–1)^T = ([A]^T)^–1 = [A]^–T .

5. Дифференцирование матриц и нахождение частных производных от скаляра f по вектору {v} = {v₁, v₂, … , v_m}:

∂f/∂{v}= {∂f/∂v₁, ∂f/∂v₂, … , ∂f/∂v_m}, (15.3)

В частности, для квадратичной формы f = {v}^T[A]{v}:

∂f/∂{v}= 2[A]{v}. (15.4)

Таким образом, возвращаясь к нашей системе c s степенями свободы и вводя в рассмотрение вектор обобщенных координат:

{q} = [q₁, q₂, … , q_s]^T,

а также две матрицы – инерционную [A] = [a_ij] и матрицу жесткости [C] = [c_ij] c элементами, равными коэффициентам квадратичных форм (15.1) и (15.2), можно представить кинетическую и потенциальную энергию системы в виде:

T = (1/2) , (15.5)

Π = (1/2) . (15.6)