3. Эквивалентность пвп и условий равновесия системы

Как уже отмечалось, принцип возможных перемещений эквивалентен уравнениям равновесия элементарной статики. Докажем, что справедлива следующая

Теорема. Необходимым и достаточным условием равновесия системы, подчиненной идеальным, стационарным и двухсторонним связям, является равенство нулю суммы работ всех активных сил на любых возможных перемещениях системы:

ΣF_i δr_i = 0. (10.4)

1) Доказательство необходимости. Пусть система материальных точек находится в состоянии равновесия. Тогда для каждой точки системы выполняется соотношение:

F_i + N_i = 0.

Умножив на δr_i и суммируя по всем точкам системы, получим:

Σ(F_i + N_i) δr_i = ΣF_i δr_i + ΣN_i δr_i = 0,

откуда, с учетом (10.1) и следует (10.4).

2) Доказательство достаточности. Пусть к системе, находившейся в состоянии покоя, приложили силы, удовлетворяющие (10.4). Покажем, что система останется в состоянии равновесия.

Предположим противное: пусть хотя бы одна j-ая точка системы вышла из состояния равновесия. Тогда F_j + N_j = R_j ≠ 0, и под действием силы R_j точка M_j получит перемещение dr_j , которое в силу начальных условий будет коллинеарным R_j : dr_j↑↑R_j .

Поскольку связи стационарны, существует возможное перемещение δr_j , равное элементарному действительному перемещению dr_j , и с учетом (10.1) мы получим:

R_j dr_j = R_j δr_j = F_j δr_j + N_j δr_j = F_j δr_j > 0.

Но тогда

ΣF_i δr_i = F_j δr_j > 0,

что противоречит (10.4), поэтому наше предположение неверно и система будет оставаться в положении равновесия.

С помощью рассмотренной теоремы и соотношения (10.4) можно находить зависимости между силами, приложенными к точкам системы так же, как с помощью обычных уравнений равновесия.

С помощью этого принципа можно определять соотношение между силами и моментами, приложенными к подвижной механической системе – механизму, а также находить опорные реакции неподвижных систем.

Для того чтобы определить опорные реакции неподвижной системы, предварительно надо воспользоваться принципом освобождаемости от связей.

Примечания:

1. Как следует из теоремы, с помощью ПВП, как и с использованием обычных уравнений равновесия, можно рассматривать только статически определимые системы.

2. Преимущество ПВП перед уравнениями элементарной статики становится особенно заметным при расчете сложных составных систем с большим числом неизвестных. При решении таких задач важно получить хорошую структуру системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций.

Поясним, что это означает. В общем случае матрица системы таких уравнений является сплошь заполненной и имеет вид (а):

(а) (б) (в) (10.5)

где знаком «» обозначены коэффициенты, отличные от нуля. Решение такой системы уравнений представляет наибольшие трудности.

Гораздо привлекательнее матрица треугольного вида, структура которой представлена на схеме (б). Она позволяет найти из первого уравнения первое неизвестное, затем, подставив его во второе уравнение, найти второе неизвестное и так далее.

Идеальной является представленная на схеме (в) диагональная матрица, при которой система распадается на отдельные уравнения, и неизвестные определяются независимо одно от другого.

Ниже будет показано, что ПВП в отличие от обычной статики всегда позволяет получить систему уравнений именно с такой диагональной матрицей. Таким образом, мы всегда сможем найти интересующую нас опорную реакцию независимо от других опорных реакций.