15.2 Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы

Систему уравнений Лагранжа, описывающих колебания системы:

(d/dt)(∂T/∂ ) – (∂T/∂q_j) = – ∂Π/∂q_j , (j = 1, 2, …, s) (12.10′)

принимая во внимание (15.3) можно представить в матричном виде:

(d/dt)(∂T/∂{ }) – (∂T/∂{q}) = – ∂Π/∂{q}. (15.7)

Подставляя в (15.7) (15.5) и (15.6) с учетом (15.4) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с s степенями свободы:

+ = 0. (15.8)

Если матрица [A] в последнем выражении имеет диагональный вид, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением колебаний в прямой форме (форме метода перемещений).

Умножив (15.8) слева на матрицу податливости [D] = [C]^–1 получим уравнение:

[D][A]{ } + {q} = 0, (15.9)

которое называется дифференциальным уравнением колебаний в обратной форме (форме метода сил).

В общем случае матрицу [A] в (15.8) можно привести к диагональному виду при помощи линейных преобразований координат. Такая процедура соответствует приведению к каноническому виду квадратичной формы кинетической энергии (15.5). Аналогичное замечание касается и матрицы [C], приведение которой к диагональному виду соответствует приведению к каноническому виду квадратичной формы потенциальной энергии (15.6).

Для студентов строительного направления особый интерес представляют механические системы в виде совокупности материальных точек, содержащие в качестве наложенных связей упругие элементы конструкций и сооружений. Примером служит рассмотренная ниже простая двухопорная балка, несущая две точечные массы. С методами составления дифференциальных уравнений колебаний таких систем студенты знакомятся в курсе строительной механики, однако ничто не мешает составить такое уравнение уже сейчас.

Пример 15.1. Составить дифференциальное уравнение колебаний системы с двумя степенями свободы, пренебрегая весом балки и закрепленных на ней грузов с массами M₁ и M₂ (рис. 15.1, а).

Решение. Примем в качестве обобщенных координат вертикальные смещения точек, направив соответствующие оси Oy₁, Oy₂ вниз – по движению и выбрав начало отсчета в положении равновесия, и рассмотрим движущиеся точки в текущий момент времени.

На каждую из них действует только обобщенная упругая сила деформированной балки Q_j , направленная, как и упругая восстанавливающая сила пружины в примере 2.4 на стр.16 в сторону, противоположную смещению, то есть в нашем примере – вверх (рис. 15.1, б).

В соответствии с принципом Даламбера для каждой точки и в каждый момент времени сумма силы Q_j и силы инерции Φ_j = – M_j a_j равна нулю:

Q_j + Φ_j = 0

или, проектируя на ось Oy:

Q_j = Φ_j = – M_j .

Теперь для того чтобы получить дифференциальные уравнения колебаний системы отбросим движущиеся массы, заменив их силами инерции, приложенными к невесомой балке, и определим перемещение точки i упругой системы (рис. 15.1, в).

На основании хорошо известного в сопротивлении материалов принципа суперпозиции:

y_i = Σ_j Φ_j δ_ij , (а)

где δ_ij – коэффициент податливости, равный перемещению точки i от единичной силы, приложенной в точке j , откуда искомые уравнения в скалярной форме примут вид:

M₁ δ₁₁ + M₂ δ₁₂ + y₁ = 0,

M₁ δ₂₁ + M₂ δ₂ + y₂ = 0.

В матричной форме соотношение (а) запишется как:

{q} = – [D][A]{ } ,

где {q} = {y₁, y₂},

, ,

то есть оно совпадает с уравнением (15.9).

Ответ: M₁ δ₁₁ + M₂ δ₁₂ + y₁ = 0; M₁ δ₂₁ + M₂ δ₂ + y₂ = 0. ●