14.4 Вынужденные колебания с учетом сопротивления

14. 4. 1 Общее решение

Пусть на систему помимо Q_упр = – cq и Q_возм = P*sinΩt действует обобщенная сила сопротивления, пропорциональная скорости Q_сопр = – b .

Дифференциальное уравнение движения системы:

a + b + cq = P*sinΩt

запишем в виде:

+ 2ε + ω²q = PsinΩt, (14.19)

где 2ε = b/a, ω² = c/a, P = P*/a.

Как и раньше

q(t) = q_одн(t) + q_част(t) = q(t) = q_собств(t) + q_вын (t).

Ищем q_част(t) в виде:

q_част(t) = sin (Ωt – β) = sin θ.

Подставляя в (14.19) последнее выражение вместе со своими производными:

_част(t) = Ω cos θ;

_част(t) = – Ω² sin θ;

получим:

– Ω² sin θ + 2ε Ω cos θ + ω² sin θ = Psin(θ +β) = P(sin θ cos β + cos θ sin β),

откуда приравнивая коэффициенты при sin θ и cos θ в обеих частях последнего уравнения, найдем:

(ω² – Ω²) = P cos β;

2ε Ω = P sin β.

Из этих соотношений получим искомые выражения для и β:

; tg β = .

Представив последние формулы в виде:

; tg β = ,

и введя обозначения: λ = Ω/ω и γ = (2ε)/ω, получим:

; (14.20)

tgβ = γλ/ (1 – λ²) (14.21)

Второй из введенных коэффициентов носит название коэффициента неупругого сопротивления и связан с уже известным логарифмическим декрементом затухания зависимостью:

γ = δ/π = (εT)/π = (ε·2π)/(πω) = (2ε)/ω .

Таким образом, общее решение уравнения (14.19) для ω > ε имеет вид:

q(t) = q_собств(t) + q_вын (t) = Ae ^–εt sin (ωt + α) + sin (Ωt – β).

Собственные колебания в системе с течением времени затухают, а вынужденные будут происходить с частотой вынуждающей силы, отставая от нее по фазе на угол β.

14. 4. 2 Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Преобразуем выражение (14.20), учтя что

P/ω² = P*/(aω²) = (P*a)/(ac) = P*/c = Δ_ст(P*)

– статический прогиб от амплитуды возмущающей силы P*, к виду:

= μ· Δ_ст(P*),

где

μ =

– коэффициент динамичности, показывающий во сколько раз динамическое действие силы P(t) = P*sin Ωt больше статического действия ее амплитуды P*.

График μ = μ(λ) называется амплитудно-частотной характеристикой системы (Рис.14.4). Как видим, он имеет следующие особенности:

μ → 1 при λ → 0 (статическое действие силы);

μ → 1/γ при λ → 1 (резонанс);

μ → 0 при λ → ∞.

Для нахождения максимального значения коэффициента динамичности достаточно определить минимальное значение функции

f(λ) = (1 – λ²)² + λ²γ².

df/dλ = 2(1 – λ²)( –2λ) + 2λγ² = 0,

откуда

_____________

λ* = √1 – (γ²/2) ,

то есть максимальное значение коэффициента динамичности, равное:

μ(λ*) =

достигается при λ < 1. Отметим, что при γ > график μ(λ) монотонно убывает.

В строительной практике γ изменяется в пределах от 0,1 до 0,01. Соответственно коэффициент динамичности μ заключен в промежутке от 10 до 100, то есть динамическое действие гармонической силы может на два порядка превысить статическое действие ее амплитуды. При этом сопротивление необходимо учитывать только в резонансной полосе:

0,85 ≤ λ ≤ 1,15.

При других значениях Ω его можно не учитывать, полагая μ = 1/(1 – λ²).

Переходя к исследованию зависимости β = β(λ), которая называется фазо-частотной характеристикой системы, отметим следующие характерные особенности соответствующего графика:

β → 0 при λ → 0 (дорезонансная зона);

β = π/2 при λ → 1 (резонанс);

β → π при λ >> 1 (послерезонансная зона).

Примечание:

С уменьшением параметра γ графики непрерывных функций β(λ) как угодно близко приближаются к графику кусочно-постоянной функции с особенностью в точке λ = 1, которая соответствует случаю γ = 0 и, которая фактически, уже была рассмотрена в §14.3:

ì 0 при λ < 1;

β =  π/2 при λ = 1;

 π при λ > 1.