Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
termeh_makovkin_kulikov.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
8.87 Mб
Скачать

14.2 Свободные колебания с учетом сопротивления

Пусть на систему помимо обобщенной упругой силы Qупр = – cq действует обобщенная сила сопротивления, пропорциональная скорости Qсопр = – b .

Дифференциальное уравнение колебаний системы:

a + b + cq = 0

представим в виде:

+ 2ε + ω2q = 0, (14.9)

где 2ε = b/a, ω2 = c/a.

Подставляя в (14.9) q(t) = Сeλt, получим характеристическое уравнение:

λ2 + 2ελ + ω2 = 0,

корни которого:

______

λ1,2 = – ε ± √ε2 – ω2 . (14.10)

В зависимости от соотношения между ε и ω здесь возможны три случая:

1) «Малое» сопротивление (ω > ε):

______

λ1,2 = – ε ± iω1, ω1 = √ω2 – ε2 .

Общее решение (14.10):

q(t) = С1exp(λ1t) + С2exp(λ2t) = e –εt (С1e +iωt + С2e iωt),

переходя от постоянных С1 и С2 к постоянным B и C или A и α можно представить в виде, аналогичном (14.6) или (14.7) (рис. 14.2):

q(t) = e εt (B cos ω1t + C sin ω1t), (14.11)

q(t) = Ae εt sin (ωt + α). (14.12)

Это затухающие колебания с условным периодом T1 = 2π/ω1, степень затухания которых характеризует отношение двух последовательных максимальных отклонений одного знака:

.

На практике рассматривают логарифм этой величины, называемый логарифмическим декрементом затухания:

δ = ln[exp(εT1)] = εT1 ≈ εT.

2) «Большое» сопротивление (ω < ε):

______

λ1,2 = – ε ± n; n = √ ε2 – ω2 .

Общее решение (14.10):

q(t) = С1exp(λ1t) + С2exp(λ2t) = e –εt (С1e +nt + С2e nt)

стремится с течением времени к нулю, поскольку ε > n , движение апериодическое (рис. 14.3).

3) Промежуточный случай (ω = ε):

λ1 = λ2 = – ε

и общее решение (14.10) имеет вид:

q(t) = e –εt (С1 + С2t),

которое качественно не отличается от предыдущего.

14.3 Вынужденные колебания без учета сопротивления

Пусть на систему действуют две обобщенные силы: упругая Qупр = – cq и возмущающая гармоническая сила Qвозм = P*sinΩt.

Дифференциальное уравнение колебаний системы:

a + cq = P*sinΩt

запишем в виде:

+ ω2q = PsinΩt, (14.13)

где ω2 = c/a, P = P*/a.

Общее решение неоднородного уравнения (14.13) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (см. §14.1) и частного решения неоднородного уравнения:

q(t) = qодн(t) + qчаст(t). (14.14)

Последнее, следуя общей теории решения ДУ, будем искать с учетом вида функции, входящей в правую часть уравнения (14.13).

1) Пусть Ω ≠ ω. Ищем частное решение в виде:

qчаст(t) = sinΩt. (14.15)

Подставляя (14.15) в (14.13), получим:

2 – Ω2) sinΩt = PsinΩt,

откуда

= P/(ω2 – Ω2)

и с учетом (14.7), (14.15) выражение (14.14) примет вид:

q(t) = qсобств(t) + qвын (t) = A sin (ωt + α) + [P/(ω2 – Ω2)] sinΩt. (14.16)

Как видим, колебания в системе складываются из собственных и вынужденных. Последние происходят с частотой вынуждающей силы, причем в фазе с ней при Ω < ω и в противофазе при Ω < ω.

2) Пусть Ω = ω. Ищем частное решение в виде:

qчаст(t) = qвын (t) = t cos ωt. (14.17)

Подставляя (14.17) в (14.13) с учетом зависимостей:

вын (t) = cosωt – ωt sinωt;

вын (t) = – ω sinωt – ω sinωt – ω2t cosωt,

получим:

sinωt ( –2 ω) + cosωt ( ω2t – ω2t ) = P sin ωt

или:

= – P/2ω,

откуда:

qвын (t) = – (Pt/2ω) cos ωt = (Pt/2ω) sin (ωt – π/2)

и общее решение (14.14) примет вид:

q(t) = A sin (ωt + α) + (Pt/2ω) sin (ωt – π/2). (14.18)

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний Pt/2ω линейно возрастает с течением времени. Это – резонанс.

При резонансе вынужденные колебания происходят с собственной частотой системы и отстают по фазе на π/2 от вынуждающей силы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]