Глава 13. Устойчивость систем
13.1 Уравнения Лагранжа для потенциального поля сил
Обобщенные силы системы с s степенями свободы, помещенной в потенциальное поле сил, определяются выражениями (12.3):
Qj = – ∂Π/∂qj , (j = 1, 2, …, s), (12.3′)
поэтому уравнения Лагранжа II рода для такой системы (12.10):
(d/dt) (∂T/∂ ) – (∂T/∂qj) = Qj , (j = 1, 2, …, s) (12.10′)
примут вид:
(d/dt) (∂T/∂ ) – (∂T/∂qj) = – ∂Π/∂qj , (j = 1, 2, …, s) (13.1)
Введем в рассмотрение функцию Лагранжа:
L = T – Π.
Учитывая, что T = L + Π, а
∂T/∂ = ∂L/∂ , ∂T/∂qj = ∂L/∂qj + ∂Π/∂qj
и подставляя последние выражения в (13.1), получим уравнения Лагранжа II рода для потенциального поля сил:
(d/dt) (∂L/∂ ) – ∂L/∂qj = 0, (j = 1, 2, …, s). (13. 2)
13.2 Условия равновесия системы
Рассмотрим механическую систему с s степенями свободы, которая описывается уравнениями Лагранжа II рода (12.10):
(∂/∂t)(∂T/∂ ) – (∂T/∂qj) = Qj , (j = 1, 2, …, s). (12.10′)
Если на протяжении конечного промежутка времени она находится в состоянии покоя, то ее кинетическая энергия остается равной нулю, а значит из (12.10′) следует, что
Qj = 0, (j = 1, 2, …, s). (13. 3)
С другой стороны, в силу первой аксиомы такое состояние системы будет возможно только в том случае, если каждая точка, а значит и система в целом находится в состоянии равновесия. Поэтому соотношения (13. 3) будут являться условиями равновесия системы в обобщенных координатах.
Для потенциального поля сил эти условия примут вид:
∂Π/∂qj = 0, (j = 1, 2, …, s). (13. 4)
Эти условия одновременно являются условиями равновесия системы и необходимыми условиями минимума ее потенциальной энергии.
Напомним, что равновесие системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным и условия (13. 4) выполняются в каждом случае.
Ответ на вопрос о характере равновесия системы дает теорема Лагранжа-Дирихле, которая утверждает, что
Достаточным условием равновесия консервативной системы является абсолютный минимум ее потенциальной энергии.
Пример 13.1. Определить при каком значении обобщенной координаты q механическая система с одной степенью свободы находится в положении равновесия, если ее потенциальная энергия имеет вид: Π = q2 – 6q + 11.
Решение. Уравнение (13. 4) примет вид:
2q – 6 = 0,
откуда q = 3. Этому значению q соответствует минимальное значение потенциальной энергии системы, равное:
П(3) = 9 – 18 + 11= 2,
откуда следует, что это значение q соответствует положению устойчивого равновесия системы.
Ответ: система находится в положении равновесия при q = 3. ●
Пример 13.2. Определить характер равновесия системы, представляющей собой обратный маятник длиной l, несущий на конце точечную массу весом P , упруго закрепленную на пружине с жесткостью c (рис.13.1, а).
Решение. Система содержит пружину и является простейшей моделью упругого тела, поэтому в механике такая задача часто встречается при переходе от абсолютно твердых тел к деформируемым системам.
Рассмотрим нашу систему с одной степенью свободы в отклоненном положении (рис.13.1, б) и примем первоначальное положение системы за нулевое.
Потенциальная энергия системы складывается из потенциальной энергии пружины и потенциальной энергии груза, равных, соответственно, работе упругой силы пружины и работе силы тяжести при перемещении системы из первого положения в нулевое:
П = П(Fупр) + П(P) = A10(Fупр) + A10(P) =
= (c/2) x2 – P (Δy) = (c/2) l2sin2φ – Pl(1 – cosφ).
Условие (12.14) при этом примет вид:
∂Π/∂φ = cl2sinφ cosφ – Pl sinφ = 0,
откуда
sinφ(cl cosφ – P) = 0.
Полученное уравнение устойчивости имеет следующие решения:
1) φ = 0, P < cl. Для определения характера положения равновесия исследуем ∂2Π/∂φ2:
∂2Π/∂φ2 = ∂/∂φ[(cl2/2)sin2φ – Pl sinφ] = cl2 cos2φ – Pl cosφ;
∂2Π/∂φ2|φ=0 = cl2 – Pl = l(cl – P) > 0, если P < cl.
То есть это положение устойчивого равновесия.
2) φ = 0, P > cl. Это, очевидно, положение неустойчивого равновесия.
3) φ = φ0 ≠ 0, P = cl cosφ0. Так же исследуем ∂2Π/∂φ2:
∂2Π/∂φ2 = cl2 cos2φ – Pl cosφ = cl2(cos2φ – cosφ0 cosφ);
∂2Π/∂φ2(φ = φ0) = – cl2 sin2φ0 < 0.
То есть это также положение неустойчивого равновесия.
Ответ: 1) φ = 0, P < cl – положение устойчивого равновесия;
2) φ = 0, P > cl – положение неустойчивого равновесия;
3) φ = φ0 ≠ 0, P = cl cosφ0 – положение неустойчивого равновесия. ●
Примечание:
Отметим, что в последнем примере 13.2 при P = cl происходит бифуркация или разветвление форм равновесия так же, как при рассмотрении устойчивости упругих тел.