Глава 12. Уравнения лагранжа второго рода

В этой главе мы получим дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы с идеальными голономными связями, которые имеют большое значение в механике.

12.1 Обобщенные координаты системы

Напомним, что свободная материальная точка в трехмерном пространстве имеет три степени свободы и ее положение можно однозначно определить заданием трех декартовых координат.

Система n таких точек имеет 3n степеней свободы и ее положение в пространстве определяется заданием 3n декартовых координат.

Если на эту систему наложить связи, то, как уже отмечалось в третьей главе, число степеней свободы системы уменьшится и для определения ее положения в пространстве удобнее применять не декартовы, а обобщенные координаты.

Определение. Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы в пространстве, называются обобщенными координатами этой системы.

● Рассмотрим для примера систему двух свободных материальных точек A и B , расположенных в плоскости xOy , которая, очевидно, имеет 4 степени свободы и положение которой можно определить заданием четырех координат (x_A, y_A, x_B, y_B,).

Те же точки, помещенные на концах рычага, закрепленного в центре О, и удаленных от этого центра на расстояния l_А и l_В соответственно образуют систему, которая имеет, очевидно, одну степень свободы, и ее положение однозначно определяется заданием угла поворота стержня j (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Связи, наложенные на систему, описывается тремя уравнениями:

x_A² + y_A² = l_A² ;

x_B² + y_B² = l_B² ;

(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)² = (l_A + l_B) ².

Число обобщенных координат равно числу степеней свободы первоначальной системы минус число наложенных связей. В нашем примере:

s = 4 – 3 = 1.

В качестве обобщенной координаты нашей системы можно выбрать x_A, y_A, x_B, y_B, но, конечно, удобнее всего взять угол поворота рычага j, через который легко выражаются координаты точек системы:

x_A = l_A cosj; y_A = l_A sinj; x_B = – l_B cosj; y_A = – l_B sinj. ●

В дальнейшем обобщенные координаты системы с s степенями свободы будем обозначать через q_j , где j = 1, 2, …, s.

При этом декартовы координаты системы n материальных точек в общем случае будут функциями обобщенных координат и времени t:

x_i = x_i (q₁, q₂,…, q_s, t);

y_i = y_i (q₁, q₂,…, q_s, t);

z_i = z_i (q₁, q₂,…, q_s, t);

или, кратко:

r_i = r_i (q₁, q₂,…, q_s, t); (i = 1, 2, …, n) (12.1)

12.2 Обобщенные силы

Пусть система n материальных точек M_i загружена силами P_i (i = 1, 2, …, n) и имеет s степеней свободы, которым соответствуют обобщенные координаты q₁, q₂,…, q_s .

Сообщим координате q_j возможное перемещение δq_j , тогда в силу (12.1) все точки системы получат перемещения

δr_i = (∂r_i /∂q_j) δq_j ; (i = 1, 2, …, n).

Работа сил P_i на возможных перемещениях точек системы, соответствующих вариации δq_j, будет равна:

∂A_qj = Σ_i P_i δr_i = Σ_i P_i (∂r_i /∂q_j) δq_j = Q_jδq_j ,

где

Q_j = ∂A_qj /∂q_j = Σ_i P_i (∂r_i /∂q_j) (12.2)

– обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q_j . Последнее соотношение можно представить в виде:

Q_j = Σ_i [ X_i (∂x_i /∂q_j) + Y_i (∂y_i /∂q_j) + Z_i (∂z_i /∂q_j)].

Если система находится в потенциальном поле сил, то с учетом (8.1):

X_i = – (∂Π/∂x_i), Y_i = – (∂Π/∂y_i), Z_i = – (∂Π/∂z_i),

откуда

Q_j = – Σ_i [(∂Π/∂x_i)(∂x_i /∂q_j) + (∂Π/∂y_i)(∂y_i /∂q_j) + (∂Π/∂z_i)(∂z_i /∂q_j)]

или

Q_j = – ∂Π/∂q_j , (j = 1, 2, …, s). (12.3)