Глава 10. Принцип возможных перемещений

1. Возможные перемещения системы. Идеальные связи.

Принцип возможных перемещений (ПВП) является основополагающим в механике. Он успешно используется при решении статических и динамических задач теоретической механики, сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики.

Основной вклад в обоснование и внедрение в практику ПВП был внесен Ж. Лагранжем.

Определение. Возможными перемещениями точки называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в каждый момент времени наложенными на нее связями.

Под возможными перемещениями системы мы будем понимать множество возможных перемещений всех ее точек.

● Рассмотрим систему двух материальных точек A и B, помещенных на концах рычага, закрепленного в центре О, и удаленных от этого центра на расстояния l_А и l_В соответственно (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Такая система имеет, очевидно, одну степень свободы, и ее положение однозначно определяется заданием угла поворота стержня j.

Конечное перемещение точки A изображается вектором Δr = AA´, проекции которого на оси координат равны приращениям координат точки A:

Δx = x_А´ – x_А = – l_А(1 – cosj);

Δy = y_А´ – y_А = l_Аsinj.

Элементарное перемещение точки A определяется вектором dr, проекции которого на оси координат равны дифференциалам координат точки A:

dx = [∂(Δx)/∂φ]|_φ=0 dφ = – l_А sinj |_φ=0 dφ = 0;

dy = [∂(Δy)/∂φ]|_φ=0 dφ = l_А cos j |_φ=0 dφ = l_А dφ.

Возможным перемещением точки A будет вектор δr(δx, δy), который отличается от вектора dr(dx, dy) только тем, что является не действительным, а воображаемым и его проекции на оси координат называются не дифференциалами, а вариациями координат.

δx = [∂(Δx)/∂φ]|_φ=0 δφ = 0;

δy= [∂(Δy)/∂φ]|_φ=0 δφ = l_Аδφ.

Переход от конечных к элементарным или возможным перемещениям точки A имеет наглядную геометрическую интерпретацию и в данном случае означает, что перемещение по дуге окружности радиуса l_А заменяется перемещением по касательной к этой окружности.

Отметим, что в рассматриваемом примере система подчинена геометрическим, стационарным и двусторонним связям. ●

Выясним, какие условия в общем случае налагают связи на возможные перемещения точек системы.

Теорема 1. В каждый момент времени возможные перемещения точки лежат в плоскости, касательной к поверхности связи.

В самом деле, возможное перемещение точки:

δr = δxi + δyj + δzk,

где δx, δy, δz – вариации ее координат, должно удовлетворять уравнению связи:

f (x,y,z,t) = 0,

то есть

f (x+δx, y + δy, z + δz, t) = 0.

Раскладывая последнее выражение в ряд, получим с точностью до бесконечно малых первого порядка:

f (x + δx, y + δy, z + δz, t) = f (x, y, z, t) + (∂f/∂x)δx + (∂f/∂y)δy+ (∂f/∂z)δz = 0,

откуда следует, что

(∂f/∂x)δx + (∂f/∂y)δy + (∂f/∂z)δz = (grad f · δr) = 0,

где вектор grad f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)j направлен по нормали к поверхности связи. Теорема доказана.

Теорема 2. Для стационарных связей элементарные действительные перемещения точки принадлежат к числу возможных: dr = δr, для нестационарных связей dr ≠ δr.

Действительно, траектория точки, подчиненной стационарной связи, принадлежит поверхности этой связи f(x,y,z) = 0, поэтому из множества возможных перемещений, лежащих в плоскости, касающейся поверхности связи всегда найдется δr, которое совпадает с элементарным действительным перемещением dr , направленным по касательной к траектории.

Точка, на которую наложена нестационарная связь f (x,y,z,t) = 0, участвует в сложном движении. В каждый момент времени t = t₁ она перемещается в относительном движении по поверхности связи f (x,y,z,t₁) = 0 и одновременно в переносном движении перемещается вместе со связью f (x,y,z,t) = 0.

При этом абсолютная траектория точки в общем случае не принадлежит поверхности f (x,y,z,t₁) = 0, а значит dr ≠ δr. Теорема доказана.

Элементарная работа сил, приложенных к точкам системы на ее возможных перемещениях равна δA = ΣF_i δr_i , и зависит от выбора δr_i .

Обозначим через N_i реакции связей, приложенных к точкам системы.

Определение. Связи, приложенные к точкам системы, называются идеальными, если для любого возможного перемещения системы выполняется соотношение:

ΣN_i δr_i = 0. (10.1)

● Примером системы, подчиненной идеальным связям, является цилиндр с намотанной на него нитью, который поднимается без проскальзывания по наклонной плоскости (рис. 9.2, г, стр. 80).

Реакциями такой связи, приложенными к телу, будут: N₁ – сила нормального давления поверхности, и N₂ – сила трения.

Поскольку эти силы приложены в точке контакта, являющейся мгновенным центром скоростей, то для них выполняется соотношение (10.1). ●