6.5. Кинетический момент тела относительно произвольной оси

Рассмотрим точку M_i твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω относительно произвольной неподвижной оси (рис.  6.3.).

Представим вектор ω и радиус-вектор r_i точки M_i в виде:

ω = ω_x i + ω_y j + ω_z k,

r_i = x_i i + y_i j + z_i k.

Тогда вектор линейной скорости точки M_i , равный векторному произведению векторов ω и r_i будет равен:

i	j	k
ωx	ωy	ωz
xi	yi	zi

=

v_i = v_x i + v_y j + v_z k = ω × r_i =

= i (ω_y z_i – y_i ω_z) + j (ω_z x_i – z_i ω_x) + k (ω_x y_i – x_i ω_y) .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах в правой и левой частях последнего выражения, получим:

(6.11)

Кинетический момент тела относительно центра O согласно (6.1) равен:

K_o = K_x i + K_y j + K_z k = (r_i  m_iv_i) = m_i (r_i  v_i) =

i	j	k
xi	yi	zi
vx	vy	vz

= m_i

=

= m_i (y_i v_z – v_y z_i) i + m_i (z_i v_x – v_z x_i) j + m_i (x_i v_y – v_x y_i) k.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах в правой и левой частях последнего выражения, и подставляя в полученные соотношения (6.11), получим:

K_x = m_i (y_i v_z – v_y z_i) = m_i [y_i (ω_x y_i – x_i ω_y) – z_i (ω_z x_i – z_i ω_x)] =

= ω_x m_i (y_i² + z_i²) – ω_y m_i (x_i y_i) – ω_z m_i (x_i z_i) = J_x ω_x – J_xy ω_y – J_xz ω_z,

K_y = – J_xy ω_x + J_y ω_y – J_yz ω_z , (6.12)

K_z = – J_xz ω_x – J_yz ω_y + J_z ω_z .

Или, короче:

{K} = [J]{ω},

где {K} и {ω} – вектор-столбцы кинетических моментов и угловых скоростей относительно координатных осей, а [J] – матричная форма тензора инерции тела.

Примечания:

1. Формулы (6.12) верны как для неподвижных осей x, y, z – тогда J_x, J_xy, J_xz, …, J_z  const, так и для подвижных осей, связанных с вращающимся телом – тогда все моменты инерции остаются постоянными.

2. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz:

K_x = – J_xz ω_z , K_y = – J_yz ω_z , K_z = J_z ω_z ,

и если ось Oz – главная, то центробежные моменты инерции J_xz и J_yz равны нулю: J_xz = J_yz = 0, поэтому:

K_x = K_y = 0, K_z = J_z ω_z .

Глава 7. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Эта теорема является, пожалуй, самой удобной и важной из общих теорем динамики, позволяя решить большую часть задач, предлагаемых на экзамене. При этом кинетическая энергия, в отличие от других мер механического движения является скалярной величиной.

7.1. Кинетическая энергия системы

Определение. Кинетическая энергия точки равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости:

T = (1/2)mv².

Определение. Кинетическая энергия системы равна арифметической сумме кинетических энергий всех точек этой системы:

T = (1/2)m_iv_i². (7.1)

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна кинетической энергии поступательно движущегося центра масс плюс кинетическая энергия системы в ее движении относительно центра масс:

T = (1/2)Mv_c² + T_c^(r), (7.2)

где M – масса системы, v_c – скорость центра масс, а T_c^(r) – кинетическая энергия системы в ее движении относительно центра масс.

Доказательство. Рассмотрим механическую систему в системе координат Oxyz. Введем еще одну подвижную систему отсчета с началом в центре масс нашей системы, оси которой при движении остаются параллельными осям Oxyz.

Положение любой i-ой точки системы можно определить радиус-вектором как в первой, так и во второй системе отсчета. При этом между ними будет зависимость:

r_i = r_c +r_i , (7.3)

_ ___

где r_i и r_i – радиус-векторы точки M_i в системах Oxyz и Сxyz, а r_c – радиус-вектор центра масс.

Дифференцируя (7.3), найдем зависимость:

v_i = v_c +v_i^(r) , (7.4)

где v_i и v_c – абсолютные скорости точек M_i и C в системе Oxyz, а v_i^(r) – скорость точки M_i относительно подвижной системы отсчета.

Подставляя (7.4) в (7.1), получим:

T = (1/2)m_i (v_c + v_i^(r))² = (1/2)m_i v_c² + (1/2)m_i (v_i^(r))² + v_cm_i v_i^(r) =

= (1/2)Mv_c² + T_c^(r) ,

где T_c^(r) = (1/2) m_i (v_i^(r))² – кинетическая энергия системы в ее движении относительно центра масс, а с учетом (4.3):

_ _

v_c m_i v_i^(r) = v_c (d/dt) (m_i r_i) = v_c (d/dt)(Mr_c) = 0,

_

поскольку r_c = 0. Теорема доказана.