5.5.2. Прямой центральный удар двух тел.

Прямым и центральным называется такой удар двух тел, при котором точка контакта этих тел лежит на одной прямой, соединяющей их центры масс, а скорости последних также направлены вдоль этой прямой.

Обозначим скорость центра масс – C₁ и массу первого тела через u и m, а второго тела – соответственно v и M (рис. 5.3).

Направив ось Ox по направлению скорости первого тела, можно записать условие, при котором удар состоится, в виде:

u_1x > v_1x .

Для определения скоростей тел после удара воспользуемся теоремой импульсов (5.12), которая с учетом отсутствия ударных импульсов внешних сил в проекции на ось Ox примет вид:

mu_1x + Mv_1x = mu_2x + Mv_2x . (5.18)

Дополняя последнее уравнение значением коэффициента восстановления, равным отношению относительных скоростей тел после и до удара:

k = (v_2x – u_2x)/(u_1x – v_1x), (5.19)

получим:

(5.20)

Для определения ударного импульса применяем теорему импульсов к первому телу:

S_x = m(u_2x – u_1x),

откуда с учетом (5.20) получим:

(5.21)

Рассмотрим частные случаи:

1) Абсолютно упругий удар (k = 1). Формулы (5.20) и (5.21) примут вид:

(5.22)

При этом в случае, если массы тел равны, то из (5.22) следует:

u_2x = v_1x, v_2x = u_1x,

то есть тела при ударе обмениваются скоростями и количествами движения.

2) Абсолютно неупругий удар (k = 0). Уравнения (5.20) принимают вид:

u_2x = v_2x = , (5.23)

то есть после удара тела двигаются совместно с одной скоростью. Ударный импульс (5.21) равен:

то есть будет вдвое меньше, чем при абсолютно упругом ударе.

Глава 6. Теорема об изменении кинетического момента системы

6.1. Кинетический момент точки и системы

Рассмотрим отрезок траектории точки M с радиус-вектором r и массой m, которая движется со скоростью v (рис. 6.1).

Определение. Вектор-моментом количества движения точки относительно центра O или, иначе кинетическим моментом называется вектор k_o , который приложен в этом центре и равен векторному произведению радиус-вектора r и вектора количества движения точки mv :

k_o = mom_o(mv) = r  mv .

Как видим, это определение аналогично определению вектор-момента вектора силы.

Определение. Чтобы найти кинетический момент k_z точки относительно оси нужно спроектировать вектор количества движения mv на плоскость, перпендикулярную этой оси, а затем вычислить момент этой проекции mv относительно точки пересечения плоскости с осью.

Правило знаков: k_z  0, если выполняется правило правого винта, то есть, смотря навстречу оси, мы видим вращение вектором mv плоскости своего действия против хода часовой стрелки.

Напомним, что проекция кинетического момента k_o относительно центра O на ось Oz равна кинетическому моменту точки относительно этой оси:

k_z = пр_z k_o = mom_z(mv) = mom_o(mv) =  mv · h ,

где h – плечо проекции вектора количества движения точки на плоскость Oxy.

Определение. Кинетический момент системы относительно центра O равен геометрической сумме кинетических моментов всех точек этой системы относительно этого центра:

K_o = mom_o(m_iv_i) = (r_i  m_iv_i). (6.1)

Определение. Кинетический момент системы относительно оси Oz равен алгебраической сумме кинетических моментов всех точек этой системы относительно этой оси:

K_z = mom_z(m_iv_i) = (m_iv_i·h_i). (6.2)

При этом

K_o = K_x i + K_y j + K_z k.