5.5. Применение теоремы импульсов в теории удара
5.5.1. Основные понятия. Коэффициент восстановления.
Под ударом понимают явление, при котором скорости точек тела изменяются на конечную величину в течение бесконечно малого промежутка времени.
Как следует из этого определения, удар сопровождается появлением бесконечно больших сил, которые называются ударными. Природа этих сил, связанных с процессом деформирования соударяющихся тел вблизи зоны контакта и распространением в них ударных волн, не является предметом рассмотрения теоретической механики, которая изучает лишь последствия удара.
Закон изменения ударной силы трудно зарегистрировать даже с помощью специальной аппаратуры: как из-за большого значения ее амплитуды, так и вследствие ее малой продолжительности. Например, по приведенным в [3] данным, продолжительность соударения двух латунных шариков диаметром 26 мм при относительной скорости их сближения 74 мм/сек составляет 2·10–4 сек.
Гораздо проще зафиксировать не силу, а импульс силы, являющийся интегральной характеристикой взаимодействия, который и входит в теорему об изменении количества движения точки или теорему импульсов:
mv2 – mv1 = Fdt = S(F). (5.5′)
Выясним, в чем состоит особенность применения этой теоремы к исследованию явления удара.
Пусть материальная точка в момент времени t1 испытывает удар, сталкиваясь с неподвижной поверхностью либо с другой материальной точкой, и его продолжительность составляет τ.
Напомним, что в последней формуле под силой F мы понимали равнодействующую всех сил, приложенных к материальной точке. И при ударе на точку помимо бесконечно большой ударной силы, импульс которой конечен, действуют обычные силы, например, сила тяжести, трения и другие силы с бесконечно малыми импульсами, которыми во время удара можно пренебречь.
Таким образом, формула (5.5′) примет вид:
mv2
– mv1
=
Fdt
= S(F), (5.11)
где S(F) – импульс ударной силы.
Аналогичный вид примет формула (5.8) и теорема об изменении количества движения системы при ударе:
Q2 – Q1 = R(e)dt = S(e), (5.12)
где S(e) – главный импульс внешних ударных сил, которая означает, что:
Изменение количества движения системы за время удара равно главному импульсу ударных сил.
Отметим, наконец, что поскольку скорости точек системы остаются конечными, а время удара бесконечно мало, то:
Перемещения точек системы за время удара равны нулю.
Перейдем к рассмотрению удара материальной точки о неподвижную поверхность.
Пусть в момент времени t1 точка массы m , имея скорость v1 , направленную под углом α к нормали n , ударяется о поверхность, а спустя бесконечно малый промежуток времени τ отскакивает от нее со скоростью v2 , направленной под углом β (рис. 5.2).
Записывая соотношение (5.11) в проекциях на направление касательной τ и нормали n к этой поверхности, получим:
mv2τ – mv1τ = Sτ = 0, (5.13)
mv2n – mv1n = Sn . (5.14)
Два последних уравнения содержат три неизвестных: v2τ, v2n и Sn , поэтому чтобы задача стала статически определимой, к ним необходимо добавить еще одно соотношение, отражающее ту или иную гипотезу удара.
Простейшей из них является предпосылка, высказанная И. Ньютоном, о том, что:
Отношение модулей нормальных проекций относительных скоростей тел после и до удара является постоянной величиной, зависящей только от материала соударяющихся тел.
Это отношение называется коэффициентом восстановления. В нашем случае он равен:
k = v2n / v1n или v2n = – k v1n . (5.15)
Этот коэффициент характеризует упругие свойства системы и ее способность к восстановлению после удара.
При k = 1 удар называется абсолютно упругим, а при k = 1 – абсолютно неупругим. Для реальных физических тел
0 < k < 1.
Если вспомнить, что скорость падения материальной точки с высоты h без учета сопротивления воздуха находится по формуле:
___
v = √2gh,
то нетрудно понять, что этот коэффициент можно определить экспериментально, воспользовавшись соотношением:
_____
k = v2n /v1n = √ h2 /h1 ,
где h1 – высота, с которой шарик без начальной скорости падает на плиту, а h2 – высота, на которую он поднимется, отскочив от плиты после удара.
С учетом (5.14) и (5.15) нормальная составляющая ударного импульса равна:
Sn = – mv1n + mv2n = – mv1n (1 – v2n /v1n) = – mv1n (1 + k), (5.16)
где v1n < 0, Sn > 0.
Из соотношения (5.13) следует, что
v1τ = v2τ, (5.17)
а поскольку
tg α = – v1τ / v1n , tg β = v2τ / v2n ,
то с учетом (5.17):
tg β = – v1τ / kv1n = tg α / k .