Глава 5. Теорема об изменении количества движения системы

5.1. Количество движения системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек M_i c массами m_i (i = 1, 2, …, n).

Определение. Количеством движения точки называется произведение массы этой точки на ее скорость:

q_i = m_iv_i .

Как следует из определения, количество движения – это вектор, приложенный в точке M_i и направленный по вектору скорости этой точки.

Определение. Количеством движения системы называется геометрическая сумма количеств движений всех точек этой системы:

Q = m_iv_i . (5.1)

Чтобы выяснить, где приложен вектор Q, воспользуемся формулой из предыдущей главы:

r_c = (m_i r_i)/(m_i) , (4.1)

откуда следует, что:

(m_i r_i) = Mr_c , (5.2)

где M = m_i .

Представим вектор скорости в (5.1) как производную от радиус-вектора:

Q = m_iv_i = m_i (dr_i/dt) = (Mr_c) = Mv_c.

Итак, с учетом формулы (5.2):

Q = Mv_c , (5.3)

то есть вектор количества движения системы приложен в центре масс этой системы и равен произведению массы системы на скорость центра масс.

5.2. Теорема для точки

Все общие теоремы динамики выводятся из основного уравнения динамики (1.1):

ma = F. (1.1)

Воспользовавшись первой подстановкой a = dv/dt , получим дифференциальную форму теоремы:

(d/dt)(mv) = dq/dt = F, (5.4)

то есть производная по времени от количества движения точки равна равнодействующей всех сил, действующих на эту точку.

Умножая обе части (5.4) на dt и интегрируя по времени в промежутке от t₁ до t₂, получим интегральную форму теоремы об изменении количества движения точки:

mv₂ – mv₁ = q₂ – q₁ = Fdt = S(F), (5.5)

где S(F) = Fdt – импульс силы F, действующей на точку за указанное время.

То есть изменение количества движения точки за промежуток времени от t₁ до t₂ равно импульсу всех сил, действующих на точку, за это время.

5.3. Теорема для системы

Записывая основное уравнение динамики (3.4) для i-ой точки системы:

m_ia_i = F_i^(e) + F_i⁽ⁱ⁾ , (i = 1, 2, …, n). (3.4)

с помощью первой подстановки a_i = dv_i /dt придем к соотношениям, аналогичным (5.4):

(d/dt)(m_iv_i) = dq_i /dt = F_i^(e) + F_i⁽ⁱ⁾,

суммируя которые по всем точкам системы:

(d/dt)(m_iv_i) = F_i^(e) + F_i⁽ⁱ⁾

получим по аналогии с (5.4) дифференциальную форму теоремы:

dQ/dt = R^(e), (5.6)

где R^(e) = F_i^(e) – главный вектор внешних сил системы. Напомним, что главный вектор внутренних сил системы равен нулю: R⁽ⁱ⁾ = F_i⁽ⁱ⁾ = 0.

Итак, справедлива теорема.

Теорема. Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил.

Проектируя (5.6) на оси координат, получим:

dQ_x/dt = R_x^(e), dQ_y/dt = R_y^(e), dQ_z/dt = R_z^(e), (5.7)

то есть, производная по времени от проекции вектора количества движения системы на какую-либо ось равна проекции главного вектора на ту же ось.

Следствие. Из формул (5.6) и (5.7) следует:

1. если R^(e) = 0, то Q = const,

2. если R_x^(e) = 0, то Q_x = const,

то есть, если проекция главного вектора системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось остается постоянной.

Умножая обе части (5.6) на dt и интегрируя по времени в промежутке от t₁ до t₂, получим интегральную форму теоремы об изменении количества движения системы:

Q₂ – Q₁ = R^(e)dt = S^(e), (5.8)

то есть изменение количества движения системы за промежуток времени от t₁ до t₂ равно главному импульсу всех сил, действующих на систему, за это время.