2.5. Розв‘язання системи лінійних алгебраічних рівннянь в середовищі

Maxima.

Одне з найпоширеніших задач лінійної алгебри – вирішення системи лінійних адгебраічних рівнянь. До вирішення систем лінійних рівнянь зводяться багато задач математики, механіки, електротехніки і радіотехніки і інших галузях науки і техніки. Наприклад, чисельний розв‘язок багатьох звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь з частинними похідними методом кінцевих різниць зводиться до вирішення лінійних алгебраїчних рівнянь, в розділі «статика» теоретичної механіки рівняння рівноваги є системою лінійних алгебраічних рівнянь, в електротехніці струми і напруга в складних ланцюгах обчислюються за правилом Кирхгофа з вирішенням системи лінійних алгебраічних рівнянь. Система комп'ютерної математики Maxima має в своєму розпорядженні досить ефективними можливості вирішувати ці завдання, як в чисельному, так і в символьному (анлітичному) вигляді.

2.5.1. Розв‘язок слар в матричної формі

Хай дано матричне рівняння AX = B, де A – квадратна матриця розмірності n; B – матриця-стовпець вільних членів розмірності n×1; X – невідома матриця розмірності n×1. Хай A – невирожденная матриця (det(A) ≠ 0), тоді існує єдине вирішення цього рівняння. У матричній формі вирішення СЛАР можна знайти по формулі X = A⁻¹B . Вирішення СЛАР в матричній формі розглянемо на прикладі.

Приклад. Знайти розв‘язок матричного рівняння AХ = В, где

Спочатку в середовищі Maxima задамо матриці A і B:

Перевіримо існування і єдність рішення:

Матриця A невироджена, значить, рішення існує і єдино. Знайдемо його:

2.5.2. Розв‘язання слар методом Крамера

По методу Крамера рішення система n лінійних рівнянь з n невідомими,

,

якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю ( = det A ≠ 0), визначається відношеннями

x_i = _i/, (2.10)

де  = det A, а _i – визначник матриці, що отримується із матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів b_i.

Таким чином, за правилом Крамера необхідно сформувати відповідні матриці, обчислити їх визначники _I і , а невідомі знаходяться по формулі (2.10). Вирішення СЛАУ методом Крамера розглянемо на прикладі.

Приклад. Знайти вирішення системи

Знайдемо визначник основної матриці

Матриця D невироджена, значить, рішення існує і єдино. Знайдемо допоміжні матриці:

невідомі визначаються по формулі (2.10)

2.5.3. Розв‘язання слар за допомогою спеціальних функцій Maxima

У системі комп'ютерної математики Maxima існують спеціальні функції що дозволяють вирішувати алгебраїчні рівняння і їх системи.

Функція solve

Функція solve здійснює символьне і чисельне розв‘язання алгебраічних рівнянь і їх систем. Дана функція застосовується також і для вирішення тригонометричних рівнянь. Синтаксис даної функції: ,

тут в перших квадратних дужках вказується список параметрів рівнянь через кому, у других - список змінних, через кому. Розглянемо приклади застосовності даної функції.

Розв‘язання системи рівнянь в символьном виді:

1. Чисельне розв‘язання лінійної системи рівнянь

Функція linsolve

Синтаксис даної функції такий же, як і функції solve. За допомогою цієї функції розглянемо вирішення попереднього прикладу.

Необхідно звернутися до основного меню Уравнения і перейти до вкладки Solve Linear System…

виникає допоміжне вікно, в якому необхідно вказати кількість рівнянь системи

після натиснення ОК з'являється нове вікно, в якому вводяться рівняння системи і невідомі змінні

Приклади для самостійного рішення

Вирішити системи лінійних рівнянь AХ = В

1) , . 2) , .

3) , . 4) , .

5) , . 6) , .