2.5. Решение системы линейных алгебраических уравнений в среде Maxima.
Одна из самых распространённых задач линейной алгебры – решение системы линейных алгебраических уравнений. К решению систем линейных уравнений сводятся многие задачи математики, механики, электротехники и радиотехники и других областях науки и техники. Например, численное решение многих обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей сводится к решению линейных алгебраических уравнений, в разделе «статика» теоретической механики уравнения равновесия представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, в электротехнике токи и напряжения в сложных цепях вычисляются по правилу Кирхгофа из решения системы линейных алгебраических уравнений. Система компьютерной математики Maxima располагает достаточно эффективніми возможностями решать эти задачи, как в численном, так и в символьном (анлитическом) виде.
2.5.1. Решние слау в матричной форме
Пусть дано матричное уравнение AX = B, где A – квадратная матрица размерности n; B – матрица-столбец свободных членов размерности n×1; X – неизвестная матрица размерности n×1. Пусть A–невырожденная матрица (det(A) ≠ 0), тогда существует единственное решение этого уравнения. В матричной форме решение СЛАУ можно найти по формуле X = A−1B. Решение СЛАУ в матричной форме рассмотрим на примере.
Пример. Найти решение матричного уравнений AХ = В, где
Сначала в среде Maxima зададим матрицы A и B:
Проверим существование и единственность решения:
Матрица A невырожденная, значит, решение существует и единственно. Найдем его:
2.5.2. Решние слау методом Крамера
По методу Крамера решение система n линейных уравнений c n неизвестными
,
если определитель матрицы системы не равен нулю ( = det A ≠ 0 ) определяется отношениями
xi = i/, (2.10)
где = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Таким образом, по правилу Крамера необходимо сформировать соответствующие матрицы, вычислить их определители I и , а неизвестные находятся по формуле (2.10). Решение СЛАУ методом Крамера рассмотрим на примере.
Пример. Найти решение системы уравнений
Найдём определитель основной матрицы
Матрица D невырожденная, значит, решение существует и единственно. Найдем вспомогательные матрицы:
неизвестные
определяются по формуле (2.10)
2.5.3. Решние слау с помощью специальных функций Maxima
В системе компьютерной математики Maxima существуют специальные функции позволяющие решать алгебраические уравнения и их системы.
Функция solve
Функция solve осуществляет символьное и численное решение алгебраических уравнений и их систем. Данная функция применяется также и для решения тригонометрических уравнений. Синтаксис данной функции:
,
здесь в качестве параметров в первых квадратных скобках указывается список уравнений через запятую, во-вторых - список переменных, через запятую. Рассмотрим примеры применимости данной функции.
Решение системы уравнений в символьном виде:
Численное решение линейной системы уравнений
Функция linsolve
Синтаксис данной функции такой же, как и функции solve. С помощью этой функции рассмотрим решение предыдущего примера.
Необходимо обратиться к основному меню Уравнения и перейти к вкладке Solve Linear System…
возникает вспомогательное окно, в котором необходимо указать количество уравнений системы
после нажатия ОК появляется новое окно, в котором вводятся уравнения системы и неизвестные переменные
Примеры для самостоятельного решения
Решить системы линейных уравнений AХ = В
1)
,
.
2)
,
.
3)
,
. 4)
,
.
5)
,
.
6)
,
.