7.1. Решение волновых уравнений. Плоские волны
Решением однородного одномерного волнового уравнения
(7.11)
является функция вида (F1 и F2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции):
.
(7.12)
Каждое из слагаемых (7.12) описывает возмущение, исходящее из точки z0 в момент t=0 и к моменту времени t приходящее в точку z= z0-vt для F1 и в точку z= z0+vt для F2 со скоростью v (рис. 7.1).
Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами, по форме этой поверхности определяется название волны (сфера – сферическая ЭМВ, плоскость – плоская и т. д.) [11].
Рассмотрим
частный случай трехмерного
волнового уравнения,
решением которого являются сферические
волны. Для
сферической функции F(r)
имеет только радиальную составляющую,
)
запишем уравнение (7.13).
После замены переменных, рассмотренной в приложении 4, получаем одномерное уравнение относительно r [3]:
. (7.13)
Умножив
(7.3) на r,
мы получим уравнение вида (7.1) относительно
функции rF(r):
,
решение которого известно – (7.2):
,
откуда следует:
.
(7.14)
Первое слагаемое (7.14) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника (рис. 7.2). Второе слагаемое следует отбросить, поскольку волна, движущаяся внутрь источника, физического смысла не имеет [3].
В отличие от (7.12) амплитуда сферической волны (7.14) уменьшается при удалении от источника как 1/r (мощность соответственно как 1/r2). Это связано с тем, что мощность изотропного источника (Pист) равномерно распределяется по расходящимся сферам. С учетом того, что площадь сферы 4r2 получаем :
.
(7.15)
Таким образом, даже при отсутствии потерь в пространстве плотность потока мощности сферической волны уменьшается с расстоянием как 1/r2.
На практике ЭМВ обычно применяют для передачи на дальние расстояния.
В этом случае удобно применение идеализации «плоская волна». На большом расстоянии от источника ЭМВ (в дальней зоне антенны) сферический волновой фронт можно в области приемной антенны аппроксимировать плоскостью, подобно тому, как земную поверхность можно считать плоской при малых высотах и на дистанциях, много меньших расстояния прямой видимости.
Плоская ЭМВ – идеализированная
волна, имеющая плоский фазовый фронт
(z=const),
у которой существуют две взаимно
перпендикулярные составляющие
и
,
зависящие только от координаты
z и расположенные
в плоскости, перпендикулярной z
(рис. 7.3). ЭМВ называется однородной,
если ее амплитуда постоянна во
всех точках фазового фронта, и неоднородной,
если ее амплитуда зависит от координат
точек фазового фронта.
Применение идеализации «плоская ЭМВ» позволяет во многих практических случаях свести задачу анализа от трехмерной к одномерной: пространство вокруг источника разбивается на участки, на каждом из которых ЭМВ можно считать плоской, после чего каждый из участков анализируется независимо.