Дифференциальные характеристики физических полей

В векторном анализе удобно использовать дифференциальные операторы градиент, дивергенцию, ротор.

Градиент – векторная характеристика скалярного поля. Градиентом скалярной функции называется вектор, численно равный производной от этой функции по направлению нормали к поверхности уровня и направленный по этой нормали: . Градиент численно равен максимальной скорости изменения функции (на рис. 2.3 , поскольку ). Направление градиента совпадает с направлением быстрейшего изменения функции.

В декартовой системе координат градиент имеет вид

. (2.3)

Таким образом, градиент представляет собой скорость пространственного изменения скалярной величины, - каждая его компонента показывает скорость изменения вектора по соответствующей координате. Градиент ориентирован в таком направлении, где он имеет самую длинную проекцию [3].

Дивергенция – это скалярная характеристика векторного поля.

Дивергенция векторного поля - это скалярная величина, равная пределу отношения потока через замкнутую поверхность S к объему, заключенному внутри этой поверхности (рис. 2.4), при условии, что поверхность стягивается в точку.

. (2.4)

Дивергенция характеризует интенсивность источников поля. Если , это значит, что в данной точке нет источников. В декартовой системе координат

. (2.5)

Данная формула выводится путем анализа потока через поверхность, охватывающую элементарный объем V (рис. 2.4). Анализируя потоки внутрь и наружу для составляющей F_y , получаем:

. (2.6)

Аналогичные результаты получаются для F_x и F_z , что дает в результате

. (2.7)

После подстановки (2.7) в (2.4) получается (2.5) [3, 8].

Если в какой-либо точке , то в этой точке находится «исток» поля (рис. 2.5). Там, где , – соответственно «сток». На рис. 2.5. приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.

Ротор – это векторная характеристика векторного поля. Ротором векторного поля называется вектор, проекция которого на положительную нормаль площадки S равна пределу отношения циркуляции вектора к площади поверхности S, ограниченной контуром L, при стягивании контура в точку (рис. 2.6).

. (2.8)

Ротор характеризует способность поля к образованию вихрей. Если в какой-то точке поля , то в этой точке находится вихрь или замкнутая силовая линия.

В декартовой системе координаты ротора вычисляются по формуле (2.9), которая выводится из (2.8) с помощью анализа циркуляции поля по элементарному прямоугольному контуру, плоскость которого параллельна плоскостям декартовой системы координат.

. (2.9)

Любое слагаемое (2.9) получается из предыдущего путем циклической перестановки переменных:  x y z x.

Переход между дифференциальными и интегральными характеристиками поля осуществляется с помощью следующих теорем векторного анализа.

2.3. Основные теоремы векторного анализа

Рассматриваемые теоремы требуют, чтобы функция векторного поля была непрерывно дифференцируема в области вычисления, что для реальных ЭМП всегда выполняется.