4.2. Решение задач электростатики методом установления

Идея метода установления. Для вычисления решений многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, например, задачи электростатики, рассматривают последние как результат установления развивающегося во времени процесса, расчет которого часто оказывается проще, чем прямой расчет равновесного состояния.

Мы проиллюстрируем применение метода установления для вычисления решения дифференциальной задачи, описывающей распределение электрического потенциала в заданной области

(4.22)

где (s) – распределение потенциала по границе Г прямоугольной области D, ограниченной соотношением 0  x,y  1, σ_S(x,y) - распределение поверхностной плотности заряда внутри области D.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу

(4.23)

где и  те же, что и в основной задаче, а начальное условие произвольно.

Поскольку плотность заряда (x, y) и распределение потенциала на границе Г не зависят от времени, то естественно ожидать, что и решение вспомогательной задачи U(x, y, t) с течением времени будет меняться все медленнее (скорость изменения U стремится к нулю) и в пределе при t превращается в равновесное распределение потенциала, в области ограниченной границей Г. Поэтому вместо стационарной задачи (4.22) можно решить нестационарную задачу (4.23) до того времени t, пока ее решение перестанет меняться в пределах интересующей нас точности. В этом и состоит идея решения стационарных задач методом установления, что позволяет использовать известные разностные методы решения задач на ЭВМ.

Рассмотрим уравнение для погрешности

. (4.24)

Согласно приведенным выше соотношениям (4.23),(4.24) уравнение для погрешности имеет вид

(4.25)

Из приведенных соотношений следует, что чем ближе начальное условие к распределению потенциала u(x, y), тем быстрее при t погрешность будет стремится к нулю, а решение вспомогательной нестационарной задачи будет стремиться к стационарному распределению потенциала. Это связано с тем, что уравнение для погрешности однородное, краевое условие на границе Г - нулевое, а, следовательно, величина погрешности определяется начальным условием, то есть разностью .

4.3. Магнитостатика

Область магнитостатических явлений определяется требованием независимости всех физических величин, характеризующих магнитостатические явления, от времени.

Исходные дифференциальные уравнения магнитостатики, записанные для однородной и изотропной среды и указанных выше ограничениях, имеют вид [1,3]

. (4.26)

Граничные условия на границе раздела двух однородных изотропных сред имеют

. (4.27)

Дифференциальное уравнение магнитостатики при отсутствии тока

(4.28

всегда имеет решение

, (4.29)

поскольку .

Скалярная функция называется магнитным потенциалом. Поскольку градиент постоянной величины равен нулю, то определение потенциала неоднозначное, с точностью до произвольной постоянной.

Все методы решения задач электростатики можно использовать для решения задач магнитостатики при отсутствии тока.

При наличии тока дифференциальное уравнение для определения распределения напряженности магнитного поля для однородной среды получается введением векторного потенциала удовлетворяющего условию . Тогда исходная система уравнений примет вид