7. Волновые уравнения для векторов электромагнитного поля.
Для анализа распространяющихся электромагнитных волн (ЭМВ) из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме целесообразно выделить уравнения, которые зависят либо только от , либо только от . При выводе будем полагать, что параметры среды (, , ) не зависят от координат и времени.
Возьмем ротор от уравнения
. (7.1)
После преобразования левой части и правой части :
. (7.2)
С учетом (3.10) после преобразований получим:
. (7.3)
Мы учли следующее соотношение для скорости света в вакууме:
. (7.4)
Аналогичным образом получаем:
. (7.5)
Уравнения (7.3) и (7.5) называют волновыми уравнениями.
Если правая часть равна нулю, то уравнение называют однородным, а если нет – неоднородным. При отсутствии электрических зарядов (=0) уравнения (7.3) и (7.5) практически совпадают, что подтверждает равноправие векторов и у распространяющегося в пространстве ЭМП.
Несмотря на кажущуюся независимость (7.3) и (7.5) следует помнить о том, что у переменного поля векторы и связаны и не могут существовать друг без друга.
Волновые уравнения в комплексной
форме выводятся из уравнений (7.3) и
(7.5) после замены производных по времени
на
, (7.6)
, (7.7)
где
–
волновое число:
. (7.8)
Уравнения (7.6)-(7.7) называют волновыми уравнениями Г. Гельмгольца.
В случае отсутствия потерь проводимости
(=0) исчезают
вторые слагаемые в (7.3) и (7.5), а также в
(7.6)-(7.8) возможно упрощение –
.
При отсутствии магнитных потерь
.
При наличии сторонних источников ЭМП или наличии зависимости параметров среды от координат левая часть уравнения не изменяется, но в правой части появляются дополнительные слагаемые.
Например, если проводимость среды
зависит от координат ((x,
y, z)),
то ее нельзя выносить за
в (7.1), а следует выполнить преобразование
по (2.15).
В итоге (7.3) запишется в виде:
. (7.9)
Для вакуума (=0, ==1) (7.3) упрощается :
. (7.10)
Для получается аналогичное уравнение (в (7.10) заменяется на ).
Рассмотренные уравнения называются волновыми потому, что их решениями являются волны, и, в частности, – ЭМВ (волновые уравнения вида (7.10) в физике были получены задолго до обнаружения ЭМВ).
Как показали расчеты и эксперименты, «произвольная» в физических аналогах (7.10) константа с для ЭМП удивительным образом совпадает со значением скорости света в вакууме. Из этого был сделан вывод о том, что ЭМВ и свет имеют одну и ту же природу. Как будет показано ниже, в пространстве без потерь ЭМВ распространяются со скоростью света.
Полученные волновые уравнения относятся к классу дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных гиперболического типа. Для произвольной формы волны и произвольной системы координат волновые уравнения решить весьма трудно, поскольку вид решения и методы его получения зависят от начальных условий и т. п. В дальнейшем будем считать, что направление распространения ЭМВ совпадает с осью z.