5. Квазистационарные явления.

5.1. Проникновение однородного магнитного поля в проводящую линейную среду

В качестве примера воздействия однородного магнитного поля на проводящую среду рассмотрим случай, когда над полупространством действует однородное магнитное параллельное поверхности полупространства.

Предполагается, что выполняется условие квазистационарности [1,2]. Это условие требует, что ток проводимости значительно больше тока смещения или при гармоническом изменении магнитного поля это требование имеет вид или при синусоидальном изменении поля так как , то выполняется неравенство .

Исходные дифференциальные уравнения и уравнения состояния среды, записанные для однородной и изотропной проводящей среды, при указанных выше ограничениях, имеют вид

. (5.1)

Граничные условия на границе раздела двух однородных изотропных сред имеют

. (5.2)

где J_n – нормальная компонента плотности электрического тока,

Если проницаемость и проводимость среды постоянны и не зависят от координат, то мы можем написать уравнения описывающие проникновение магнитного поля в проводящую магнитную среду

(5.3)

Путь плоскость XOY лежит на поверхности полупространства. Направим ось z декартовой системы координат (ДСК) перпендикулярно поверхности полупространства. Пусть магнитное поле имеет только одну ненулевую компоненту H_x , которая будет зависеть только от координаты z (глубины), тогда уравнение (5.3) примет вид

. (5.4)

Граничное условие для касательных компонент поля на поверхности полупространства имеет вид

(5.5)

Здесь H_x(t) –внешнее магнитное поле,=2f – круговая частота изменения внешнего магнитного поля.

При гармоническом изменении внешнего поля во времени

H_x (t)= H^* exp(jt) уравнение (5.4) примет вид

, (5.6)

где H^* (z)- комплексная амплитуда поля.

Решение уравнения (5.6) имеет вид

(5.7)

Первое слагаемое (5.7) падающее поле, второе слагаемое – отраженное поле, и – комплексные амплитуды, .

Амплитуду определим из условия затухания поля на бесконечности при , , а амплитуду определим из граничного условия на поверхности для касательных компонент при , .

Изменение магнитного поля с глубиной имеет вид

Глубина проникновения поля в проводник определяется, как расстояние от поверхности проводника на котором поле уменьшается в е = 2.7818 раз. Для плоского проводника глубину проникновения определяют выражением

(5.8)

5.2. Воздействие однородного переменного магнитного поля на проводящую, ферромагнитную, нелинейную среду

В качестве примера воздействия однородного магнитного поля на проводящую среду рассмотрим случай, когда в длинном соленоиде находится длинный однородный круговой цилиндр, изготовленный из проводящего, ферромагнитного материала. Ось z ЦСК направлена по оси цилиндра. Требуется определить распределение поля, индукции и магнитный поток в цилиндре при запитывании обмотки соленоида синусоидальным током.

Предполагается, что выполняется приведенное выше условие квазистационарности. Это условие требует, что ток проводимости значительно больше тока смещения или при гармоническом изменении магнитного поля это требование имеет вид или  >>_а .

Исходные дифференциальные уравнения и уравнения состояния среды, записанные для однородной и изотропной проводящей среды, при указанных выше ограничениях, имеют вид

. (5.9)

Граничные условия на границе раздела двух однородных изотропных сред имеют .

Если проводимость среды постоянна и не зависят от координат, то мы можем написать уравнение, описывающее проникновение магнитного поля в проводящую магнитную среду

(5.10)

Так как

,

уравнение (1.3) преобразуем к виду

(5.11)

Поскольку divB=0, а , то

. (5.12)

Если =const и не зависит от координат, то grad=0 и из (5.9)

следует, что divH=0. Тогда уравнение (5.11) преобразуется к виду

(5.13)

Если же проницаемость зависит от величины поля (ферромагнетик), то она зависит и от координат. Следовательно, grad  0 . В бесконечном круговом цилиндре поле и проницаемость зависят только от радиальной координаты r, и градиент магнитной проницаемости направлен по r. Поскольку вектор Н направлен по оси цилиндра z , то скалярное произведение Нgrad=0. Следовательно, уравнение (5.13) справедливо и в этом случае.

Уравнение (5.13) можно преобразовать, введя понятие дифференциальной магнитной проницаемости

(5.14)

Тогда

(5.15)

и (5.15) принимает вид однородного параболического нелинейного уравнения

(5.16)

Граничное условие на внешней поверхности имеет вид

(5.17)

Здесь H(t) –внешнее магнитное поле, создаваемое соленоидом, =2f – круговая частота изменения внешнего магнитного поля, I^*- амплитуда переменного тока в обмотке соленоида, w – число витков, l – длина соленоида,

R₁ – внешний радиус кругового цилиндра.

Граничное условие на внутренней поверхности r=R₂ имеет вид

(5.18)

При гармоническом изменении поля во времени H(r,t)= H^*(r) exp(jt) граничное условие (5.18) примет вид

(5.19)

где H^* (r)- комплексная амплитуда поля, R ₂ – радиус круговой цилиндрической полости.

Если полость отсутствует, то R₂ =0 и правая часть соотношения (5.19) равна нулю в силу ограниченности поля при r=0.

Индукция магнитного поля в цилиндре

(5.20)

Магнитный поток

(5.21)

Для определения распределения магнитного поля, индукции и потока в нелинейной ферромагнитной среде необходимо знать уравнение кривой намагничивания. Для нашего случая возьмем наиболее распространенную аппроксимацию кривой намагничивания

(5.22)

где H_s – коэрцитивная сила, B_s – индукция насыщения, а дифференциальная магнитная проницаемость определяется дифференцированием первого соотношения в (5.14) по Н.