4. Электростатика и магнитостатика

4.1 Электростатика

Область электростатических явлений определяется, во-первых, требованием независимости всех физических величин, характеризующих электростатические явления, от времени, во-вторых требованием полного отсутствия движения зарядов ( ).

Эти требования упрощают систему исходных уравнений Максвелла (3.1) поскольку исчезают производные по времени и слагаемое, определяемое плотностью электрического тока.

Исходные дифференциальные уравнения электростатики, записанные для однородной и изотропной среды при указанных выше ограничениях, имеют вид

. (4.1)

Интегральные законы электростатики имеют вид

.

Граничные условия на границе раздела двух однородных изотропных сред имеют

. (4.2)

Исходное дифференциальное уравнение электростатики

(4.4)

всегда имеет решение

, (4.4)

поскольку

.

Скалярная функция u(x, y, z) называется потенциалом. Поскольку градиент постоянной величины равен нулю, то определение потенциала u(x, y, z) неоднозначное, с точностью до произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение для определения распределения потенциала для однородной среды с диэлектрической проницаемостью  имеет вид

(4.5)

где  = div[grad( )]- оператор Лапласа. При =0 уравнение (1.4) принято называть уравнением Лапласа, а при 0 – уравнением Пуассона.

Получить решения уравнения Лапласа и Пуассона в виде конечной формулы удается получить только в одномерном случае и для простейших краевых условий.

Рассмотрим решение уравнения Лапласа в декартовой системе координат x, y, z. В этой системе координат уравнение Лапласа согласно (1.4) имеет вид

. (4.6)

В одномерном случае, когда потенциал зависит только от координаты x решение уравнения Лапласа, имеет вид .

Цилиндрическая система координат (ЦСК) r, , z. В этой системе координат уравнение Лапласа имеет вид

(4.7)

В одномерном случае, когда потенциал зависит только от координаты r, решение уравнения Лапласа имеет вид

. (4.8)

Сферическая система координат (ССК) r, , . В этой системе координат уравнение Лапласа имеет вид

. (4.9)

В одномерном случае, когда потенциал зависит только от координаты r, решение уравнения Лапласа имеет вид

. (4.10)

Здесь A и B – постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий.

Рассмотрим далее определение распределения потенциала в двумерной прямоугольной области (на плоскости).

Декартовы координаты x, y на плоскости. В этом случае уравнение Лапласа имеет вид

. (4.11)

Для решения уравнения (1.11) используем метод разделения переменных, то есть решение u(x, y) ищем в виде произведения двух функций [3]

.

Подставив это произведение в уравнение (4.11) и разделив почленно полученное выражение на произведение X(x)()Y (y), получаем

. (4.12)

Одна часть уравнения (4.12) зависит только от переменной х, а другая – только от переменной y. Отсюда следует, что обе части должны быть постоянными и иметь одно и тоже значение, скажем –k². Таким образом, исходное уравнение в частных производных распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка

. (4.13)

Решение этих уравнений известно

. (4.14)

Общее решение уравнения Лапласа получится, если просуммировать все имеющееся решения

. (4.15)

Значения всех входящих в выражение (1.15) постоянных интегрирования A,B,C,D и значений собственных чисел k определяется из граничных условий .

Например, если граничное условие по координате у имеет вид u(x, y=0) = 0 и u(x, y=1) = 0, то согласно (1.14), (1.15) D=0 и sin(k) = 0 или k = n, где n = 0,1,2,3, 4…– целое число.

Определение распределения потенциала на плоскости для области в виде круга или кольца сводится к решению уравнения Лапласа в полярных координатах

. (4.16)

Это уравнение может быть решено методом разделения переменных [3]. Положим

Подставив эту функцию в уравнение Лапласа (4.16) получим

. (4.17)

Аналогично предыдущему, введем постоянную разделения k, после чего получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

(4.18)

Решение этих уравнений имеет вид

. (4.19)

Соответственно общее решение уравнения (1.16) имеет вид

. (4.20)

Значения всех входящих в выражение (1.15) постоянных интегрирования A,B,C,D и значений собственных чисел k определяется из граничных условий.

Например, для области в виде круга единичного радиуса граничное условие имеет вид и должно выполняться требование ограниченности потенциала , где – заданная периодическая функция с периодом повторения равным 2.

Тогда , согласно (4.19), (4.20) требование ограниченности потенциала приводит к условию , а остальные коэффициенты есть коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам и косинусам известной периодической функции F().

Решение уравнения Пуассона для бесконечной среды без границ получается сложением потенциалов точечных зарядов и имеет вид

(4.21)

где R - расстояние между точкой наблюдения (определения) потенциала и точкой расположения точеного заряда , V - объем в котором находится заряд, , - объемная плотность заряда.