Некоторые тождества и операции второго порядка.

; ;

; ;

; ;

; . (2.15)

Оператор Лапласа (, лапласиан) является оператором второго порядка.

. (2.16)

Как и ,  применяется как к скаляру, так и к вектору.

. (2.17)

. (2.18)

В случае декартовой системы координат (2.18) упрощается [2]:

. (2.19)

Сведения о часто применяемых в теории ЭМП криволинейных системах координат (цилиндрической и сферической) и векторных операциях в них приведены в Приложении 2.

2.5. Классификация векторных полей

Векторное поле задано однозначно, если известны его ротор и дивергенция как функции пространственных координат.

В зависимости от значений данных функций различают потенциальное, вихревое (соленоидальное) поле и поле общего типа.

Векторное поле потенциально, если существует некоторая скалярная функция , которая связана с следующим образом: . Функцию называют скалярным потенциалом поля .

Необходимым и достаточным условием потенциальности является равенство ротора нулю ( ).

Соленоидальным (вихревым) называется векторное поле , в каждой точке которого (необходимое и достаточное условие), .

Соленоидальное векторное поле можно представить как . В этом случае векторную величину называют векторным потенциалом поля ( ).

Название поля данного типа можно объяснить тем, что оно было обнаружено в соленоиде, – катушке индуктивности (она может быть как с сердечником, так и без сердечника), длина которой значительно превышает диаметр.

Если у векторного поля и , то это – поле общего типа.

Произвольное векторное поле общего типа можно представить в виде суммы потенциальной и вихревой частей: , – где в включены источники поля ( ), а в – вихри поля ( ) [2].

Теперь, после изучения интегральных и дифференциальных операций и основных теорем векторного анализа, можно приступить к изучению базиса теории электромагнитного поля – системы уравнений Максвелла.

3. Исходные уравнения электродинамики - системы уравнений Максвелла.

Исходные дифференциальные уравнения электродинамики (уравнения Максвелла), записанные для однородной и изотропной среды имеют вид

. (3.1)

Интегральные законы электродинамики имеют вид

(3.2).

Здесь

–вектор напряженности магнитного поля,

– вектор индукции магнитного поля,

- вектор напряженности электрического поля,

– вектор индукции электрического поля,

– вектор плотности тока,

(x, y, z)- объемная плотность электрических зарядов,

=_r ₀ – магнитная проницаемость среды,

=_r ₀ – электрическая проницаемость среды,

_r , _r – относительные проницаемости (магнитная и электрическая),

₀, ₀ – проницаемости вакуума,

₀ =1,2566Е-6 [в*сек/(а*м)], ₀ = 8,854Е-12 [ а*сек/(в*м) ] .

– скалярное произведение векторов и ,

– скалярное произведение векторов и ,

H_t – тангенциальная (касательная) компонента напряженности магнитного поля,

B_n – нормальная компонента индукции магнитного поля,

E_t – тангенциальная (касательная) компонента напряженности электрического поля,

D_n – нормальная компонента индукции электрического поля,

– поверхностная плотность электрических зарядов,

L– замкнутый пространственный контур,

S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V,

– единичный вектор касательный к контуру L,

– единичный вектор нормальный к поверхности S,

– бесконечно-малый элемент контура L,

– бесконечно-малый элемент поверхности ,

Q – заряд, находящийся в объеме V.

Уравнения состояния среды (связь между векторами индукции, вектора плотности тока и напряженности поля, ) имеют вид

(3.3)

Граничные условия на границе раздела двух однородных изотропных сред имеют

. 3.4)