Теорема Остроградского – Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
Поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному (объемному) интегралу от дивергенции по области V , ограниченной поверхностью S :
.
(2.11)
Рассмотрим доказательство теоремы для потока жидкости.
Произведение
дает мощность источников в элементарном
объеме dV,
поэтому полная мощность источников
поля в объеме V
определяется объемным интегралом в
правой части (2.11). Поток через замкнутую
поверхность состоит из суммы
входящего
и выходящего
потоков (точнее из разности выходящего
и входящего из-за противоположных
направлений нормалей к S). Итоговый поток
будет положительным,
если в объеме преобладают источники
поля, и отрицательным,
если преобладают «стоки».
Таким образом, выходящий наружу поток
для несжимаемой жидкости (объем жидкости
проходящий через S за единицу времени)
равен мощности источников в объеме V.
Формула (2.11) позволяет свести задачу вычисления поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности к более простой: вычислению тройного интеграла по области V.
Обратный переход по (2.11) осуществляется аналогично (2.4).
Теорема Стокса
Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.
Циркуляция
векторного поля
по замкнутому положительно ориентированному
контуру L
равна
потоку
ротора
этого поля через любую гладкую поверхность
S,
опирающуюся на данный контур:
.
(2.12)
Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S.
Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).
Формулы Грина.
Положим
.
Подставим это выражение в формулу (2.11)
получим согласно равенству
(2.12)
Это первая формула Грина. Далее поменяем в формуле (2.12) w и u местами и вычтем полученную формулу из (2.12) получим
(2.13)
Это вторая формула Грина.
2.4. Оператор набла и оператор Лапласа
Написание
формул векторного анализа упрощается
при использовании оператора
набла
(оператора У. Гамильтона), представляющего
собой вектор
.
Сам по себе этот вектор смысла не имеет,
но позволяет компактно записать формулы
(2.3), (2.5) и (2.9):
;
;
. (2.14)
Кроме того, оператор набла позволяет упростить вычисление дифференциальных операторов более высоких порядков.
Следует отметить, что с следует обращаться осторожно, а при его использовании нужно помнить о том, что данный оператор является не только векторным, но и дифференциальным.
Например,
найдем
.
С помощью
получаем
.
По правилам дифференцирования
произведения оператор действует сначала
на первый
множитель, а затем на второй:
.
В результате получаем
.
Процедура вычисления через координаты
вектора потребовала бы на порядок больше
операций.
Попробуйте
получить самостоятельно не включенную
в (2.15) формулу для разложения
.
Правильный ответ приведен в конце
приложения
1.