Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по TFP.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
1.17 Mб
Скачать

Теорема Остроградского – Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному (объемному) интегралу от дивергенции по области V , ограниченной поверхностью S :

. (2.11)

Рассмотрим доказательство теоремы для потока жидкости.

Произведение дает мощность источников в элементарном объеме dV, поэтому полная мощность источников поля в объеме V определяется объемным интегралом в правой части (2.11). Поток через замкнутую поверхность состоит из суммы входящего и выходящего потоков (точнее из разности выходящего и входящего из-за противоположных направлений нормалей к S). Итоговый поток будет положительным, если в объеме преобладают источники поля, и отрицательным, если преобладают «стоки». Таким образом, выходящий наружу поток для несжимаемой жидкости (объем жидкости проходящий через S за единицу времени) равен мощности источников в объеме V.

Формула (2.11) позволяет свести задачу вычисления поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности к более простой: вычислению тройного интеграла по области V.

Обратный переход по (2.11) осуществляется аналогично (2.4).

Теорема Стокса

Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Циркуляция векторного поля по замкнутому положительно ориентированному контуру L равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся на данный контур:

. (2.12)

Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S.

Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).

Формулы Грина.

Положим . Подставим это выражение в формулу (2.11) получим согласно равенству

(2.12)

Это первая формула Грина. Далее поменяем в формуле (2.12) w и u местами и вычтем полученную формулу из (2.12) получим

(2.13)

Это вторая формула Грина.

2.4. Оператор набла и оператор Лапласа

Написание формул векторного анализа упрощается при использовании оператора набла (оператора У. Гамильтона), представляющего собой вектор . Сам по себе этот вектор смысла не имеет, но позволяет компактно записать формулы (2.3), (2.5) и (2.9):

; ; . (2.14)

Кроме того, оператор набла позволяет упростить вычисление дифференциальных операторов более высоких порядков.

Следует отметить, что с следует обращаться осторожно, а при его использовании нужно помнить о том, что данный оператор является не только векторным, но и дифференциальным.

Например, найдем . С помощью  получаем . По правилам дифференцирования произведения оператор действует сначала на первый множитель, а затем на второй: . В результате получаем . Процедура вычисления через координаты вектора потребовала бы на порядок больше операций.

Попробуйте получить самостоятельно не включенную в (2.15) формулу для разложения . Правильный ответ приведен в конце приложения 1.