7.2. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений

Уравнения Максвелла в комплексной форме для составляющих векторов плоской волны в декартовой системе координат имеют вид:

; ; ; (7.16)

Из (7.16) следует, что и взаимно перпендикулярны. (Это можно доказать, рассмотрев скалярное произведение векторов. В дальнейшем мы будем обозначать координаты данных векторов и , подчеркивая их поперечную направленность и расположение в плоскости x0y. Вектор Пойтинга в данном случае имеет только продольную составляющую (рис. 7.3 и 7.4). Зная или , мы легко можем найти другую поперечную составляющую и (при необходимости) перейти к обычным координатам ( , , , ).

Поскольку по определению плоской ЭМВ , лапласиан (²=) и превращается во вторую производную по z ( ), и однородные волновые уравнения (7.16) запишутся в виде:

, . (7.17)

Решения уравнений (7.17) имеют вид (для – аналогично):

. (7.18)

Первое слагаемое (7.18) прямая волна, второе слагаемое – обратная волна, и – комплексные амплитуды данных бегущих волн.

Подставляя (7.18) в (7.16) найдем связь и :

. (7.19)

Запишем связь волнового числа ( ) с комплексным коэффициентом распространения () для среды без магнитных потерь :

, (7.20)

Уравнение плоской волны с учетом (7.10) можно записать в виде

. (7.21)

Для мгновенных значений из (7.11) получаем:

. (7.22)

Направление распространения ЭМВ можно определить из анализа зависимости полной фазы (7.22) от времени. Зафиксировав волновой фронт в какой-то момент времени, мы получим, что если , то в следующий момент времени ЭМВ сместится в положительном направлении оси z, а при волновой фронт будет двигаться в отрицательном направлении оси z (рис. 7.5).

7.3. Коэффициенты затухания и фазы

Из анализа (7.11) и (7.12) очевидно, что  – это коэффициент затухания, а  – коэффициент фазы. Коэффициент затухания для волны в среде с проводимостью :

, (7.23)

. (7.24)

Множитель в (7.11) и (7.12) показывает затухание ЭМВ, при распространении ее вдоль оси z. Чем больше , тем больше затухание ЭМВ.

Ослаблением (A) ЭМВ по полю называют величину

. (7.25)

На практике часто используют ослабление в децибелах (дБ):

. (7.26)

С ослаблением непосредственно связана глубина проникновения ЭМП в вещество (), называемая также толщиной поверхностного слоя (скин-слоя, но это понятие логичнее использовать для металлов).

. (7.27)

При прохождении слоя вещества z= амплитуда ЭМП ослабляется в е (е=2,71828…) раз, и соответственно в следующий слой (рис. 7.6) проходит лишь 1/е² мощности ЭМП. Получается, что в поверхностном слое  концентрируется 86,5% энергии ЭМП, в слое 2 – 98,2%, а в слое 3 – 99,8%.

Таким образом, зная коэффициент затухания можно определить слой вещества, где преимущественно концентрируется энергия ЭМП.

В случае диэлектриков толщина поверхностного слоя значительна, в то время как для проводников на высоких частотах она составляет доли миллиметра.

Если минимальный размер объекта превышает 3, то следует учитывать неравномерность распределения ЭМП в веществе. Например, если в микроволновую печь положить вещество толщиной много больше 3, то во внутренние слои ЭМП не проникает, и они останутся «сырыми».