4. Що показує вибірковий коефіцієнт множинної кореляції?

Множинні коефіцієнти кореляції

Для визначення тісноти зв’язку між поточною k-ю змінною і змінними, що залишились, використовується вибірковий множинний коефіцієнт кореляції: де D - визначник матриці парних коефіцієнтів кореляції. Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта множинної кореляції використовується величина: що має F-розподіл з L і (n-L-2) рівнями волі відповідно. Якщо розраховане F-значення більше значення F-розподілу на відповідному рівні імовірності (0.9 і вище), то гіпотеза про лінійний зв'язок між k-ю змінною і рештою змінних не заперечується. У програмі для кожного коефіцієнта множинної кореляції виводиться F-значення і процентна точка F-розподілу, яка йому відповідає.

5. Яким чином пов’язані вибірковий та генеральний коефіцієнт кореляції?

Нехай X і Y мають нормальний розподіл. У цьому випадку при досить великому обсязі вибірки n коефіцієнт r наближено дорівнює генеральному коефіцієнту r. Проте оцінити похибку, яка виникає при цьому, дуже важко. Це і не обов’язково, оскільки точне значення r в розрахунках практично не використовується, а треба лише як показник наявності кореляції між Y і X. Вибірковий коефіцієнт кореляції r застосовується в основному для перевірки загальної гіпотези про наявність кореляції між спостережуваними величинами, не вдаючись у детальні оцінки сили цієї кореляції.

У зв'язку з випадковістю вибірки r може бути відмінно від нуля, навіть якщо між спостережуваними величинами немає кореляції. Отже, для перевірки гіпотези про відсутність кореляції, необхідно перевіряти, значимо чи r відрізняється від нуля. А для цього потрібно знати розподіл r як випадкової величини. Цей розподіл відомий, але, як і варто було очікувати, воно залежить від невідомого генерального коефіцієнта r. Однак, якщо ми як нульову візьмемо гіпотезу, що r= 0 (відсутність кореляції), то r-розподіл відповідний r= 0, сильно спрощується і буде залежати тільки від обсягу вибірки. Його щільність має вигляд

(2.10)

r-Розподіл називають розподілом Фішера-Іейтса. Видно, що це симетричний відносно нуля унімодальний розподіл. У статистичних таблицях наведені квантилі цього розподілу для деяких рівнів значимості та ступенів свободи.

У припущенні, що генеральна кореляція r= 0, інтервальна оцінка для r з довірчою ймовірністю р = 1 - a, очевидно, дорівнює

.

Отже, якщо виявиться, що знайдений за вибіркою коефіцієнт r задовольняє нерівності

(2.11)

то його потрібно визнати значущим, тобто потрібно вважати, що нульова гіпотеза невірна. А це означає, що r ¹ 0 і між величинами, що спостерігаються, є кореляція. Вона буде тим сильніше, чим значніше | r | перевищує і наближається до 1.

6. Запишіть співвідношення між коефіцієнтами кореляції і детермінації.

Крім відображення щільності зв'язку, коефіцієнт кореляції відіграє ще одну важливу роль – через коефіцієнт детермінації (D) він характеризує розмір впливу факторів на результативну ознаку:

.Це означає, що у наведеному прикладі 36% рівня продуктивності праці формується під впливом озброєності працівників основними засобами. Решту 64% становлять інші фактори – матеріальна зацікавленість робітників, інтенсивність використання робочого часу тощо.

7. Як визначаються дисперсія залишків, загальна дисперсія і дисперсія регресії? Який між ними зв’язок?

8. Що показує і з якою метою вимірюється стандартна похибка величини?

оцінка дисперсії характеризує ступінь розкиду значень навколо їх середнього або варіабельність та визначається за формулою

. (2.9)

В загальному випадку для отримання незміщеної оцінки дисперсії суму квадратів необхідно поділити на число ступенів свободи. Так як вибірка вже використовувалася один раз для визначення середнього Х, то число накладених зв’язків в даному випадку дорівнює одиниці, а число ступенів свободи .

Однак, більш природно вимірювати ступінь розкиду значень змінних навколо їх середньої або варіабельність в тих же одиницях, в яких вимірюється і сама змінна. Цю задачу вирішує показник, що називається середньоквадратичним відхиленням (стандартним відхиленням) або стандартною похибкою і визначається співвідношенням

.

9. Яким чином оцінюється значимість коефіцієнтів кореляції?

Оцінка значимості коефіцієнта корреляції при малих обсягах вибірки виконується з використанням t-критерію Стьюдента. При цьому фактичне (спостережне) значення цього критерію визначається за формулою

. (2.12)

Розраховане за цією формулою значення порівнюється з критичним значенням t-критерію Стьюдента з урахуванням заданного рівня значущості та числа ступенів свободи n-2.

Якщо , то отримане значення коефіцієнта кореляції признається значущим і робиться висновок про тісний статистичний взаємозв’язок величин.

10. Що таке мультиколінеарність і які її наслідки?

Суть мультиколінеарності полягає в тому, щовба-гатофакторній регресійній моделі дві або більше незалежних змінних пов'язані між собою лінійною залежністю або, іншими словами, мають високий ступінь кореляції:

мультиколінеарність незалежних змінних (факторів) призводить до зміщення оцінок параметрів моделі. На основі цих оцінок неможливо зро-бити конкретні висновки про результати взаємозв’язку між показни-ком і факторами; збільшення дисперсії та коваріації оцінок параметрів, обчисле-них за методом найменших квадратів.

11. Охарактеризуйте основні методи усунення мультиколінеарності.

Основними серед них є наступні.

^ 1. Вилучення змінної (або змінних) з моделі. При цьому з моделі вилучається одна із змінних колінеарної пари. Слід зазначити, що таке вилучення змінних можливе тільки у випадку коли це не суперечить логіці економічних зв’язків. У протилежному випадку це може призвести до помилки специфікації.

^ 2. Зміна аналітичної форми економетричної моделі. Іноді заміна однієї функції регресії іншою (наприклад лінійної нелінійною) , якщо це не суперечить апріорній інформації, дає змогу уникнути явища мультиколінеарності.

^ 3. Збільшення спостережень. З точки зору теорії, мультиколінеарність та невелика кількість спостережень у вибірці – це одна і та ж проблема. Тому збільшення спостережень у статистичній вибірці або використання іншої статистичної вибірки може усунути, або принаймні зменшити вплив мультиколінеарності.

^ 4. Перетворення статистичних даних. Позбутися мультиколінеарності можна і шляхом наступних перетворень вихідних даних стосовно пояснюючих змінних :

а) замість самих даних узяти їхні відхилення від середніх;

б) замість абсолютних значень даних взяти відносні значення ;

в) стандартизувати змінні.

^ 5. Використання додаткової первинної інформації. Аналіз і використання первинної додаткової інформації інколи дозволяє зняти проблему мультиколінеарності.