позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k - количеством эндогенных переменных в системе).

При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения; при k = 1, это - 2М-оценки; при k = f, - МНДО-оценки. 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. f > 1). Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.

7.4. Оценка параметров всех (идентифицированных) уравнений

Из приведенной формы системы уравнений следует, что

переменные скоррелированы с ошибками во всех уравнениях. Это является основным препятствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по отдельности.

Но в случае, если в матрице B все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (т.е. в правой части l-го уравнения могут появляться только

более младшие эндогенные переменные x l / , l/ < l , и последней компонентой

любого вектора xl является xl), а в матрице Ω , наоборот, равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали или эта матрица диагональна, то ε l не скоррелирован с переменными x −l при любом l. Это - рекурсивная система, и для

оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравнениям.

Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно применить трехшаговый метод (3М) наименьших квадратов.

Предпологается, что идентифицированы все k уравнений:

Xl = X−l β l++ Zαlα l++ ε l== Qγlγ l++ εε l , l== 1, k,

При условии, что матрица ковариации ошибок эндогенных переменых σ 2Ω одинакова во всех наблюдениях (гипотеза гомоскедастичности)

переменными. Поскольку матрица ковариации остатков по этому уравнению равна σ 2ωω llZ/Z (т.е. отлична от σ 2IN), для получения оценок cl параметров γ l нужно

использовать ОМНК:

cl = (Ql / Z(Z/Z)− 1 Z/ Ql )−− 1 Ql /Z(Z/Z)−− 1 Z/Xl .

Это - еще одна (3-я) форма записи оператора 2М-оценивания.

Первые два шага 3М совпадают с 2М, но цель их не в получении оценок cl, а в том, чтобы оценить el, и затем получить оценки W матрицы σ 2Ω :

Теперь все уравнения (*) записываются в единой системе:

или

Y = Qγ ++ ηη ,

где Y - соответствующий k(n+1)-вектор-столбец наблюдений за изучаемой

E(ηη / ) =σ σ 2Ω (Z/Z) ,

где - операция прямого умножения матриц.

Для нее имеется оценка: k(n + 1)× k(n + 1)-матрица ∑ = = W (Z/Z) .

Эта матрица отлична от σ 2Ik(n + 1) , поэтому на 3-м шаге 3М-оценивания к

единой системе (**) применяется ОМНК и получается окончательная оценка c

параметров γ :

с = (Q/∑∑ − 1 Q)−− 1 Q/∑ ∑ −− 1 Y

В таком виде оператор 3М-оценивания используется для всех сверхидентифицированных уравнений. Для точно идентифицированных уравнений он имеет более сложную форму. Но для таких уравнений всегда можно применить КМ-оценивание.

Теоретические вопросы и задания

1(*). Доказать, что параметры уравнений неодновременной системы можно оценивать обычным МНК, даже если ошибки эндогенных переменных скоррелированы.