Исходные числа к выполнению задания 2

Номер варианта	А(2)	В(2)	С(2)	R
1	100101001	- 0.00011001	1111.0010	2
2	- 101	0.110011111	- 1111.10100	1
3	111100000	- 0.1100001	111.00101	5
4	- 110101001	0.10011101	- 11.01010	3
5	11000111	- 0.11111	1.10110	4
6	- 100110101	0.00001101	- 0.11111	2
7	1001100111	- 0.001111101	0.01011	4
8	- 111000101	0.110111101	- 0.00101	1
9	1011111001	- 0.0101101	0.00010	5
10	- 101100111	0.101111	- 0.00001	3
11	10111	- 0.000110101	10111.0100	4
12	- 1110011001	0.11100111	- 1011.10010	2
13	1011010111	- 0.000111	101.01101	3
14	- 10010001	0.101	- 10.10010	1
15	1011100001	- 0.110000101	1.01101	5
16	- 101100001	0,001101	- 0.10101	2
17	10111101001	- 0.011100111	0.01111	3
18	- 111000101	0.100011	- 0.00111	5
19	1011001111	- 0.01011	0.00011	1
20	- 10001110111	0.110110	- 1101.01010	4
21	101000001	- 0.00101	100.10101	3
22	- 1001111	0.0010110001	- 1001.01101	1
23	111	- 0.0110010111	0.10010	5
24	- 101111101	0.1111101	- 0.01100	2
25	111001010	- 0.01001	110.10010	4
26	- 110001000011	0.11111	- 0.01100	5
27	1000110111	- 0.001	0.11101	3
28	- 11011101	0.10001	- 10,000101	1
29	10001001	0.110110011	11011.1100	4
30	- 11001111001	0.001010	- 10111.0011	2

Если представляемое число положительное, то в знаковом разряде устанавливается 0, а если отрицательное, то 1. Модуль числа располагают в младших разрядах. Если при этом свободными остаются старшие разряды сетки, то их заполняют нулями. Например, в 8–разрядной сетке отрицательное целое число – 1100 ₂ можно представить в виде:

1

0

0

0

1

1

0

0

Значения модулей целых двоичных чисел в n–разрядной сетке не должны превышать значения 2 ^n-1 – 1. Если ограничение на максимальное значение модуля не выполняется, то происходит переполнение разрядной сетки, старшие разряды модуля теряются и появляется ошибка в представлении числа.

Распределение разрядов n–разрядной сетки при представлении правильных дробей в форме с фиксированной точкой имеет вид:

Обычно точку фиксируют перед старшим разрядом модуля. Модуль располагают в старших разрядах сетки. Максимальное значение модуля составляет 1 – 2 ^i-n. Если количество значащих цифр модуля меньше количества обозначенных для записи разрядов в сетке, то оставшиеся свободные младшие разряды заполняются нулями. В противном случае не поместившиеся в сетку значащие цифры модуля теряются. При этом возникает погрешность представления числа ∆, абсолютное значение которой меньше единицы младшего разряда сетки:

∆ < 2 ^{1 – n} (5)

Например, в 8–разрядной сетке отрицательное число - 0.01110001₂ в форме с фиксированной точкой представляется в виде:

1

0

1

1

1

0

0

0

Для представления чисел в форме с плавающей точкой используется зависимость:

Х = ± М ∙ d ^{± p} (6)

где Х – представляемое число; М – мантисса числа; d – основание системы счисления; p – порядок числа.

Например, с учетом выражения (6) число 128₁₀ можно записать в виде нескольких представлений:

0.128 ∙ 10 ³ = 1.28 ∙ 10 ² = 12.8 ∙ 10 ¹ = 128.0 ∙ 10 ⁰ = 1280.0 ∙ 10 ^-1

С изменением порядка числа в большую или меньшую сторону точка в мантиссе соответственно перемещается вправо или влево, то есть «плавает» в изображении числа.

С целью однозначного представления числа введено понятие нормализованного числа. Нормализованным считается число, модуль мантиссы которого представляет собой правильную дробь, и первая цифра, стоящая справа о точки, должна быть отличной от нуля. Такое представление мантиссы позволяет сохранять в разрядной сетке большее количество значащих цифр, что повышает точность вычислений. Общая структура представления чисел в форме с плавающей точкой для n–разрядной сетки имеет вид:

В рассматриваемой сетке h разрядов отводится для представления нормализованной мантиссы, а t разрядов – для представления порядка числа. Знак числа совпадает со знаком мантиссы. Порядок числа представляется целым двоичным числом со знаком. Например, в 16–разрядной сетке выделено для мантиссы и порядка числа по восемь разрядов. При указанном распределении разрядов сетки необходимо записать следующие двоичные числа: Х = - 10110.11, Y = 0.0001100101. Представим числа в нормализованной форме: - 10110.11 = - 0.1011011 ∙ 2 ⁵; 0.0001100101 = 0.1100101 ∙ 2 ^-3.

Полученные нормализованные числа в рассматриваемой разрядной сетке будут иметь соответственно вид:

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

Знак Модуль мантиссы Знак Модуль порядка

Числа порядка

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

С целью упрощения различных вычислительных операций часто используется смещенное представление порядков чисел. В этом случае, порядки представляют собой только положительные числа без указания знака. Смещение порядка числа состоит в добавлении к действительному значению порядка положительного смещения в виде целого числа. Значение смещенного порядка можно определить из выражения:

Р _см = Р_д + 2 ^t-1 , (7)

где Р_см - значение смещенного порядка; Р_д - значение действительного порядка; t – количество разрядов, используемых для размещения порядка в разрядной сетке.

Например, в 16–разрядной сетке, имеющей по восемь разрядов для размещения мантиссы и порядка чисел, запишем со смещенным порядком отрицательное двоичное число -0.00001111. Представим указанное число в нормализованном виде: -0.00001111 = -0.1111 ∙ 2 ^-4. С учетом выражения (7) значение смещенного порядка определится равным:

Р _см = -4 + 2 ^{8 - 1} = 124 ₁₀ = 1111100 ₂.

В итоге представление числа в рассматриваемой разрядной сетке будет иметь вид:

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

Знак Модуль Модуль

числа мантиссы смещенного порядка

Для выполнения арифметических операций числа в цифровых вычислительных устройствах кодируются специальными машинными кодами. Часто используются прямой, обратный коды и код дополнения (дополнительный код). Запись числа в прямом коде основана на представлении абсолютного значения числа с соответствующим знаком. Например, положительное число Х = +1101000 ₂ и отрицательное число Y = -0.0010101 ₂ в прямом коде имеют вид: [Х]_пр = 01101000; [Y]_пр = 10010101.

Обратный код положительного числа совпадает с изображением числа в прямом коде. Для получения обратного кода отрицательного числа нужно в знаковом разряде установить единицу, а в числовых разрядах произвести инверсию цифр. Например, числа Х = +0.0100101 ₂ и Y = -1010110 ₂ в обратном коде имеют вид: [Х]_обр = 00100101; [Y]_обр = 10101001.

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа получается из обратного кода путем прибавления единицы к младшему разряду. Например: Х = - 0.011101₂ ; [Х]_пр = 1011101; [Х]_обр = 1100010; [Х]_доп = 1100010 + 0000001 = 1100011.

Для перевода дополнительного кода отрицательного двоичного числа в прямой код нужно произвести инверсию цифр в числовых разрядах и к полученному результату прибавить единицу к младшему разряду. Например: [Х]_доп = 10011011; [Х]_пр = 11100100 + 00000001 = 11100101; Х = - 1100101₂.

Сдвиговые операции состоят в одновременном смещении цифр кода числа на фиксированное количество разрядов влево или вправо.

При логическом сдвиге происходит смещение в разрядной сетке всех цифр кода, включая и разряд знака. В освободившиеся при сдвиге разряды сетки устанавливаются нули, а не уместившиеся в сетке цифры числа теряются. Например, в 8–разрядной сетке код 10010111 при логическом сдвиге на два разряда влево и вправо соответственно будет иметь вид:

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

Логический сдвиг вправо

1 0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

Логический сдвиг влево

Ц

0

1

0

0

1

1

0

1

Циклический сдвиг влево

0

0

1

1

0

1

0

1

Циклический сдвиг вправо

иклический сдвиг отличается от логического тем, что при смещении цифры, выходящие за пределы разрядной сетки, вводятся в освобождающиеся разрядные позиции. Например, при циклическом сдвиге на три разряда влево и вправо код 10101001 соответственно будет иметь вид:

При арифметическом сдвиге (влево или вправо) производится смещение кода без изменения позиции знака числа. Для положительных и отрицательных чисел, представленных в прямом коде, освобождающиеся при сдвиге разряды сетки заполняются нулями. Например, числовые коды [Х]_пр = 1001101 и [Y]_пр = 0100100 после арифметического сдвига на один разряд влево или вправо соответственно будут иметь вид:

[Х]_пр = 1011010; [Х]_пр = 1000110; [Y]_пр = 0001000; [Y]_пр = 0010010

При арифметическом сдвиге влево отрицательных чисел, представленных в дополнительном коде, младшие освобождающиеся разряды сетки заполняются нулями, а при сдвиге вправо старшие разряды заполняются единицами. Например, при сдвиге дополнительного кода отрицательного числа

[ Х]_доп = 11001101 на два разряда влево и вправо соответственно получим:

[Х]_доп = 10110100; [Х]_доп = 11110011.

ЗАДАНИЕ 3

1. Вычислить S = A + B, представив слагаемые в формате байта с фиксированной точкой в дополнительном коде.

2. Вычислить Z = A + B, представив слагаемые в формате двух байт с плавающей точкой (старший байт для мантиссы, младший – для порядка числа).

3. Вычислить E = C + D, представив слагаемое в дополнительном двоично-десятичном коде 8421.

4. Вычислить П = А · В, используя алгоритм Бута, представив сомножители в формате байта с фиксированной точкой в дополнительном коде.

5. Вычислить Q = A : B, используя метод с неподвижным делителем без восстановления остатка, представив делимое и делитель в формате байта с фиксированной точкой.

Рассматриваемые числа А₍₁₀₎, В₍₁₀₎, С₍₁₀₎, D₍₁₀₎ приведены по вариантам в табл. 3. При выполнении задания необходимо показать ход решения задач.

Методические указания к выполнению задания

Операция алгебраического сложения при использовании дополнительных кодов чисел сводится к простому арифметическому сложению. Результат при этом оказывается представленным также в дополнительном коде. Если при сложении возникает единица переноса из знакового ряда, то она отбрасывается.

Например, складываются числа Х = 6₁₀ = 110₂ и Y = - 3₁₀ = - 011₂; А = - 7₁₀ = - 111₂ и В = - 5₁₀ = - 101₂ . Представим указанные числа в формате байта в дополнительном коде:

[Х]_доп = 00000110; [Y]_доп = 11111101; [А]_доп = 11111001; [В]_доп = 11111011.

Операции сложения полученных кодов чисел будут иметь вид:

Таблица 3