Задание 3

Анализируются три варианта накопления средств по схеме аннуитета постнумерандо.

Вариант 1: вносится вклад на депозит 55 000 руб. каждые полгода при условии, что банк начисляет 12% годовых с полугодовым начислением процентов.

Вариант 2: делается ежегодный вклад в размере 110 000 руб. на условиях 16,5% годовых при ежегодном начислении процентов.

Вариант 3: вносится вклад на депозит 27 500 руб. каждый квартал на условиях 15,5% годовых с квартальным начислением процентов.

Определите, какая сумма будет на счете при каждом варианте через 9 лет?

Решение:

Аннуитет— общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени. Аннуитетный график отличается от такого графика погашения, при котором выплата всей причитающейся суммы происходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодической основе выплачиваются только проценты, а вся сумма основного долга подлежит к оплате в конце.Сумма аннуитетного платежа включает в себя основной долг и вознаграждение.

По времени выплаты первогоаннуитетного платежа различают:

• аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,

• аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

Для удобства оформим условия задачи в таблицу 2.Результаты вычислений также будем заносить в неё.

Таблица 2 — Условия задачи 3 и результаты вычислений

№ плана	Аннуитетный платёж, руб. А	Сколько раз в год вносим деньги, р	Годовая процентная ставка, r	Сколько раз в год начисляются проценты, m	, руб
1	55 000	2	12	2
2	110 000	1	16,5	1
3	27 500	4	15,5	4

Т.к. по условиюp=m, используем простую формулу аннуитета пренумерандо

Видно, что наибольшая сумма будет, если использовать второй план.

Ответ: при использовании плана 1 — 2 311 554,11 руб.

при использовании плана 2 — 5 363 752,09руб.

при использовании плана 3 — 1 338 698,31 руб.

Задание 4

Выдан кредит на 350 000 руб. на два года с помесячным начислением процентов под 17% годовых. Начисление процентов осуществляется по формуле сложных процентов в конце каждого месяца.

Составить:

план погашения кредита равными частями (с помощью формулы аннуитета);

план погашения кредита равными частями основного долга.

Решение:

Погашение кредита равными частями аннуитетными платежами означает, что каждый месяц должник уплачивает фиксированную сумму денег, но соотношение тела долга и процентов в этой сумме различается по месяцам.

Определим аннуитетный платёж по формуле

A — ежемесячный аннуитетный платёж, руб.

i — годовая процентная ставка

m — количество начислений процентов в год

P — размер выданного кредита

M — срок кредита, мес.

Ежемесячно начисляется процент в размере

График выплат аннуитетными платежами представлен в таблице 3.Размер платежа фиксирован. Сумма процентов определяется как процентная ставка * остаток основной суммы. Долг определяется как разность платежа и суммы процентов. Остаток основной суммы определяется как разность между остатком предыдущего месяца и погашенным долгом текущего месяца.

Для второго месяца:

сумма процентов = 0,01416667 * 341 196 = 4 833,61 руб.

долг = 17 304 – 4 833,61 = 12471 руб.

остаток основной суммы = 341 196 – 12 470,38 = 328 725,62руб.

Таблица 3 — Погашение с помощью аннуитета

Месяц	Остаток основной суммы, руб.	Долг в месяц, руб.	Сумма процентов, руб.	Платёж, руб.
0	350 000
1	341 196	12 304	5 000	17 304
2	328 725	12 471	4 833	17 304
3	316 254	12 824	4 480	17 304
4	303 430	13 005	4 299	17 304
5	290 425	13 190	4 114	17 304
6	277 235	13 377	3 927	17 304
7	263 859	13 566	3 738	17 304
8	250 293	13 758	3 546	17 304
9	236 535	13 953	3 351	17 304
10	222 581	14 151	3 153	17 304
11	208 431	14 351	2 953	17 304
12	194 079	14 555	2 749	17 304
13	179 525	14 761	2 543	17 304
14	164 764	14 970	2 334	17 304
15	149 794	15 182	2 122	17 304
16	134 612	15 397	1 907	17 304
17	119 215	15 615	1 689	17 304
18	103 600	15 836	1 468	17 304
19	87 764	16 061	1 243	17 304
20	71 703	16 288	1 016	17 304
21	55 415	16 519	785	17 304
22	38 896	16 753	551	17 304
23	22 143	16 990	314	17 304
24	5 153	17 231	73	17 304
Итого:		353 107	62 189	415 296
		415 296

Итоговая сумма долга в месяц и суммы процентов сошлась с суммой платежей, значит, расчёт выполнен верно.

Погашение кредита равными частями основного долга означает, что каждый месяц в уплачиваемой сумме одна и та же сумма основного долга, а начисленные проценты различаются. Используются сложные проценты, т.е. проценты начисляются на начальную сумму кредита и начисленные проценты.

Ежемесячная сумма основного долга: 350 000 руб./ 24 месяцев = 14 583,3 руб.

Ежемесячная процентная ставка та же —

План погашения кредита равными частями основного долга представлен в таблице 4. Размер долга фиксирован. Сумма процентов равна процентной ставке, умноженной на фиксированный размер основного долга (350 000 руб.) и сумму начисленных процентов. Платеж равен сумме долга и процентов. Остаток основной суммы равен разности остатка предыдущего месяца и долгу текущего месяца.

Для третьего месяца:

долг фиксирован — 14 583 руб.

сумма процентов = 0,01416667 * (350 000 + 4 960 + 5 030) = 5 100 руб.

платёж = 14 583+ 5100 = 19683 руб.

остаток основной суммы = 320 834– 14 583 = 306 251 руб.

Таблица 4 — Погашение кредита равными частями основного долга

	Остаток основной суммы, руб.	Долг в месяц, руб.	Сумма процентов, руб.	Платеж, руб.
0	350 000
1	335 417	14 583	4 960	19 543
2	320 834	14 583	5 030	19 613
3	306 251	14 583	5 100	19 683
4	291 668	14 583	5 172	19 755
5	277 085	14 583	5 245	19 828
6	262 502	14 583	5 320	19 903
7	247 919	14 583	5 395	19 978
8	233 336	14 583	5 471	20 054
9	218 753	14 583	5 549	20 132
10	204 170	14 583	5 628	20 211
11	189 587	14 583	5 707	20 290
12	175 004	14 583	5 788	20 371
13	160 421	14 583	5 870	20 453
14	145 838	14 583	5 953	20 536
15	131 255	14 583	6 038	20 621
16	116 672	14 583	6 123	20 706
17	102 089	14 583	6 210	20 793
18	87 506	14 583	6 298	20 881
19	72 923	14 583	6 387	20 970
20	58 340	14 583	6 478	21 061
21	43 757	14 583	6 569	21 152
22	29 174	14 583	6 662	21 245
23	14 591	14 583	6 757	21 340
24	8	14 583	6 853	21 436
Итого:		349 992	140 564	490 556
		490 556

Итоговая сумма долга в месяц и суммы процентов сошлась с суммой платежей, значит, расчёт выполнен верно.

Ответ: планы погашения кредита представлены в таблицах 3 и 4.