Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Статистические методы и модели - Костин В.Н., Тишина Н.А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

995.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

β – это риск заказчика, вероятность принятия неверной гипотезы. 1 – β – вероятность отвергнуть неверную гипотезу (функция

мощности критерия).

Если α уменьшать, то β будет увеличиваться, то есть если риск поставщика уменьшить, то риск заказчика будет увеличиваться.

Функция мощности критерия в зависимости от β приведена в табли-

це 2.3.

Таблица 2.3 – Функция мощности критерия

α	1 %	2,5 %				5 %		10 %
1 – β	0,627	0,728				0,800		0,867
β	0,373	0,272				0,200		0,133
Мощность критерия подчиняется статистике χ2 :
						2
				x−mx
		1	∫l−		1
	1−β =	1			2σx2		.
	1−β =	2π σx			2σx2		.
		2π σx

Итак, допустим, полученное математическое ожидание mx1 отличается от табличного значения. Приняли гипотезу в виде закона распределения случайной величины mx1. Значения α и β назначили. Необходимо определить количество опытов, чтобы удовлетворить заданным α и β.

Имея уровень доверительной вероятности α для нормального закона, запишем:

−

(x−mx )2

∞

α = p(x > xкр) / H0 =

∫l

2σx

dx =

∫l

−

dy ;

2π

σ x xкр

2π

xкр −mx

σx

– для гипотезы Н0 :

(x − m )2

−

1 − β = p(x > xкр )/ H =

2σ

∞

dx ;

∫l

2π σx

кр

– для новой гипотезы H1: yкрα=(хкр-mх)/σх ,

где mx – табличное значение.

yкр1-β=(хкр-mх1)/σх ,

где mx1 – конкурирующее значение.

Произведем замену переменных	~		,
	xкр = M	x

M x – случайная величина (оценка), имеет отклонение

σ ~ = σ x ,

M x n

тогда

~ −

yαкр = M xσ x mx ;

~ − y1кр−β = M xσ xmx1 .

Выразим из формулы M x и вычтем уравнения

x + mx

= yкр

−

= y

1−β

σ x

+ m

;

кр

− y

1 − β

σ x

−(mx

−mx ),

0 = y

кр

отсюда число опытов при заданных α и β

n =	yαкр	− y1кр−β
	mx	σ x .
		−mx
	1

Общая схема проверки статистических гипотез.

1 Выдвигаются две гипотенузы Н0 и её альтернатива Н1.

2 Выбирается критерий или статистика, по которой будут проверяться гипотезы.

3 Назначается уровень значимости, то есть ошибка1-го рода:

p x > xкр =α			- односторонний критерий;
p(	x	> xкр)=α / 2	- двусторонний критерий,

если критерий двусторонний – α делится на две области. По величине α устанавливаем границу хкр.

4 Правило принятия решения.

Если опытное значение критерия оказалось в критической области, то есть в α, гипотеза Н0 – отвергается.

Если статистика попала в область, определенную 1 – α то, следовательно, делается вывод – опытные данные не противоречат гипотезе Н0.

5 Проверка уровня мощности критерия 1 – β.

По 1 – β находится риск заказчика β, и только проанализировав его, принимается решение провести дополнительные исследования или принять гипотезу.

Пример № 4. Стреляют три гаубицы по три выстрела каждая. Обнаружено отклонение центра группирования от табличного.

Ошибка дальномера при определении дальности σ 2 = 16 м, mx = 20 м

– табличное значение, mx1 = 22 м – опытное значение.

Необходимо принять решение, что математическое ожидание mx = 20 м, а mx1 = 22 м – это следствие ограниченной выборки.

Выдвигаем гипотезы

H0 : mx = 20 м;

H1 : mx 1 = 22 м.

Выбираем статистику – нормальный закон распределения, так как математическое ожидание распределено по нормальному закону. В качестве статистического критерия выбираем оценку математического ожидания.

	m~				σ		x
N		/ H	,				x		;
N		/ H	,						;
	x	0
							n
	m~					σ		x
N		/ H		,				x	.
N		/ H		,					.
	x	1
	1							n

По условиям задачи выбираем односторонний критерий. Назначим α=0,05. По α надо определить хкр. (критическое).

−

кр

2σ ~

∞

σx

кр

α =0,05 =

∫l

dmx

;

σx

2π

кр

xкр

−20

кр

−

4 2

∞

0,05 =

∫l

dmx .

2π

кр

xкр

Производим замену переменных

−20

кр

= y ;

−20

−

∞

кр

α =

∫l

2 dx =

∫l−

2 dy =

- Ф

=0,05;

2π

mxкр−20

−20

кр

=0,45 ;

−20

кр

=1,65 →mx

= 22,2 м.

кр

То есть мы попали не в критическую область, но находимся очень близко к ней.

H 0

β	1-β
mx / H 0 = 20 mx / H1 =22 α			mx
	mx	кр	= 22,2
		кр

Рисунок 2.5 – Конкурирующие гипотезы

Следовательно, mx1 не принадлежит критической области, поэтому гипотезу Н0 отвергнуть нельзя. Так как mx1 близко расположена к критической области, то произведем оценку риска заказчика 1 – β.

Оценим риск заказчика: вычислим площадь 1 – β конкурирующей альтернативы

− 22

x кр

−

4 2

∞

1 − β

∫l

dmx

2π

кр

22 ,2

y 2

∞

−

22 ,2-22

2 dy =

- Ф

∫l

2π

22 ,2

-Ф(0,15 )= 0,5 − 0,0596 = 0,4404 .

то есть β = 0,5596 .

Риск заказчика очень велик. Теперь попробуем изменить α и посмотрим, что будет с нашими гипотезами. Увеличим уровень значимости с

0,05 до 0,1.

− 20

−

кр

4 2

∞

0,1=

∫l

dmx .

2π

кр

xкр

По другому уровню находим новое mx

кр

−20

xкр

- Ф

=0,1;

−20

кр

=0,4;

~	−20	~
mx кр	−20	~
		=1,28 →mx кр	= 20 +1,7 = 21,7 ;
4		=1,28 →mx кр	= 20 +1,7 = 21,7 ;
3

mx H1 = 22.

То есть наша оценка при уровне значимости 0,1 попала в критическую область. Гипотезу Н0 – отвергаем.

Теперь “подвигаем” гипотезу. Выберем α – старое (α = 0,05), а опытное значение оценки математического ожидания получили не 22 м, а 24 м.

То есть mx H1 = 24 ,

						~		2
				−	m		− 24
				−		xкр
						xкр
							4 2
	1			∞		2			~
				∞		2
							3
1−β =				∫l					dmx	=
1−β =		σx		∫l					dmx	=
		σx	~						кр
				m
	2π n			xкр


=	1	- Ф	22,2-24	=	1	+Ф(1,35)=0,9115,
	2		4		2
			3

следовательно β = 0,0885.

То есть, если опытное значение равно 24 гипотеза Н0 отвергается и при этом риск заказчика очень маленький.

Сколько же необходимо сделать опытов, чтобы при заданных α и β решить вопрос о преемственности (приеме) выборки.

Не известно n и не известно m~xкр , задано α = 0,05 – 5 % и β = 0,1 – 10 %. Какую выборку нужно сделать?

− 20

−

кр

4 2

∞

α =0,05 =

∫l

dmx

;

2π

кр

mxкр

−20

кр

0,05 =

−

;

− 22

−

кр

∞

1−β =0,9 =

∫l

dmx

2π

кр

- 22

xкр

- Ф

=0,9 =

;

		~		-20
	mx			-20
Ф				кр
Ф				4
				4

				n
				n
		~		-22
		~
	m		x
Ф			x	кр
				кр
				4
				4

				n

~			-20
	m		-20
=0,45 →		xкр				=1,65
=0,45 →		4				=1,65
		4

			n
		~	n
		~			-22
		m	xкр		-22
= −0,4 →−			xкр				=1,28.
= −0,4 →−			4				=1,28.
			4

				n
				n

Решая данную систему уравнений, получим количество опытов необходимое для удовлетворения заданных α и β равное n = 35. При n = 35 получаем, что mxкр = 21,126. То есть гипотеза Н0 отвергается, поскольку

~	= 22 (наша оценка) попадает в критическую область.
mx	= 22 (наша оценка) попадает в критическую область.
0	~	окажется меньше
	~
	Если в результате 35 опытов среднее значение mx
~	0
~	= 21,126 , то мы будем обязаны принять гипотезу Н0.
mx	= 21,126 , то мы будем обязаны принять гипотезу Н0.
кр

2.3 Проверка гипотезы о равенстве среднеквадратичной оценки выборочной оценки самой среднеквадратичной генеральной совокупности

Имеем выборку объёма n из генеральной совокупности x1, x2 , ..., xn , тогда оценка:

~		1	~ 2
σ	=		∑(xi −mx ) .
		n −1

Известно σГ генеральной совокупности. Необходимо проверить гипотезу H0 :σ~ =σГ . Для оценки гипотезы вводим статистику V . Считаем,

что переменная V принадлежит χ2 (хи-квадрат) распределению с n – 1 степенью свободы

V =σ~2σ(n2 −1) χn2 −1.

Проверка гипотезы осуществляется в следующем порядке.

Берется односторонний критерий и по заданной доверительной вероятности α и n по таблице χ 2 определяется Vкρ .

Затем сравнивается опытное значение Vоп с Vкр . Если Vоп попало в критическую область, то гипотезу Н0 отвергаем. Если Vоп < Vкр (попали в

левую часть характеристики), то делают вывод: опытные данные не противоречат гипотезе Н0.

βα = p (V>Vкр)

Рисунок 2.6 – Распределение χ2

Если нет конкурирующей гипотезы, то гипотеза просто принимается.

2.4 Оценка равенства дисперсий двух выборок

Имеем две выборки объёмом n и m.

I − n x11KKx1n;

II − m x21KKx2m.

Оценки дисперсий будут иметь вид

~2			1	n		~	2
~2			1			~	2
σ1		=		∑ (x1i − mx1) ;
			n −1i = 1
~2			1	m		~		2
σ		=		∑	x	− m			.
σ		=		∑	x	− m			.
	2		m −1 j = 1		2 j		x2

Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий H0 :σ~12 =σ~22 . Вводим статистику

σ~ 2

−1)

χ2

;

σ 2

n −1

σ~ 2 (m −1)

σ 2

m −1


Рассмотрим отношение
		V		σ~12
F =		1	=		F (n −1,m −1).
		n −1
				σ~22
		V2
	m −1
	m −1

Данное отношение дисперсии принадлежит распределению Фишера со степенями свободы n – 1 и m – 1. Рассмотрим на примере односторонний критерий.

Пример № 5. Имеем две выборки n1 = 11 и n2 = 14. Найденные оценки дисперсии равны σ~12 = 0,76 и σ~22 = 0,38 . Необходимо при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу

H0 :σ~12 =σ~22 ;

H1 :σ~12 >σ~22.

По заданному α найдем F критическое для n – 1 и m – 1. Из таблицы Фишера Fкр(10,13) = 2,67 определяем:

σ~2		= 0,76
F =	~12		= 2 ,
σ2		0,38

следовательно Fоп < Fкр, поэтому опытные данные не противоречат гипо-

тезе Н0. Возьмем уровень доверительной вероятности α = 0,1. По таблице Фишера (приложение В) F (10, 13) = 2,14. Следовательно, гипотеза Н0 принимается (рисунок 2.7).

2, 67

.		F
2	2,14

Рисунок 2.7 – Распределение Фишера для одностороннего критерия

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика

#
24.05.20141.6 Mб211Статистика - Колесник В.И., Коваленко Н.Г.doc
#
24.05.20142.11 Mб91Статистика - Сизова Т.М..pdf
#
24.05.2014352.38 Кб87Статистика практикум - Т.В. Ивашина.pdf
#
24.05.2014537.78 Кб43Статистика финансов. Гл.13. Статистика ценных бумаг - Добашина И. В..pdf
#
24.05.2014517.89 Кб56Статистика финансов. Гл.8. Биржевая статистика - Добашина И. В..pdf
#
24.05.2014995.16 Кб68Статистические методы и модели - Костин В.Н., Тишина Н.А..pdf
#
24.05.20145.95 Mб112Статистический анализ структуры социально-экономических процессов и явлений - Сивелькин В.А., Кузнецова В.Е..pdf
#
24.05.2014121.07 Кб13Стимулирование в активных системах целевые функции метризованные отношения - Бурков В.Н. Новиков Д.А..pdf
#
24.05.2014793.43 Кб62Стимулирование в управлении проектами - Цветков А.В.pdf
#
24.05.20141.73 Mб90Стоимость и капитал - Джон Р. Хикс.doc
#
24.05.2014417.38 Кб46Стратегии финансов О чём молчит финансовый поток - Езерская О..pdf