Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Методы оперативной обработки статистической информации - Пивоваров Ю.Н., Реннер А.Г., Тарасов В.Н..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

2.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Коэффициенты α1,...,αl в формуле (2.27) также находятся по методу наименьших квадратов. При этом формулы для их определения получаются достаточно простыми:

α1

∑X ki ;

i =1

P (X

)

∑ X

= i =1

;

)

∑

(2.29)

i =1

. . . . .

∑ X ki Pλ−1(X Ai )

αλ =

i =1

)

∑

i =1

λ−1

Достоинство описываемого способа определения уравнения регрессии в том, что вычисленные по формуле (2.29) коэффициенты не зависят от того, каков 6удет порядок разыскиваемого уравнения регрессии. Это значит, что находя уравнение регрессии методом последовательных уточнений, мы используем все ранее найденные коэффициенты, больше их не пересчитывая. Повышение порядка регрессии на единицу потребует теперь нахождения лишь одного коэффициента.

Таким образом, рассмотрены способы определения, математической зависимости между двумя составляющими объекта измерения. Точно так же решается задача и определения математической зависимости одной составляющей объекта измерения Хk, от нескольких ХA,ХB,... Разница заключается лишь в том, что в данном случае уравнение регрессии надо искать в виде

X k = ψ(X A X B, ...; α1, ..., αe ),	(2.30)
где α1, ..., αe , как и ранее, неопределенные	коэффициенты,

значения которых должны быть найдены по принципу наименьших квадратов.

2.4 Математическое описание составляющих объекта

измерения После того как получены математические зависимости одних

составляющих объекта измерения от других, необходимо перейти к математическому описанию самих составляющих, которые являются, как было сказано выше входными, сигналами ИИС.

Основной предпосылкой для описания составляющих объекта измерения должно быть то, что эти составляющие носят случайный характер и, помимо этого, изменяются во времени. То есть мы должны рассматривать составляющие объекта измерения как случайные, процессы или сигналы.

В качестве обобщенной модели какой-то k-той составляющей объекта измерения можно взять модель вида

X k (t) = ϕ(t)N(t) + ψ(t),

(2.31)

где ϕ(t) иψ(t) - некоторые детерминированные функции времени;

N(t)- случайная функция времени.

Из формулы (31) следует, что для математического описания составляющей объекта измерения Хk(t) нужно уметь описывать детерминированные компоненты ϕ(t) иψ(t) и случайную N(t).

Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения

Детерминированные функции времени (сигналы) могут иметь различный вид. Поэтому естественно стремиться представить любую детерминированную функцию в каноническом виде через какие-то стандартные функции.

Одним из распространенных, канонических представлений детерминированных функций является разложение их в ряд по ортогональным функциям:

∞
ϕ(t) = ∑A kϕk (t),	(2.32)

k =0

где Аk - коэффициенты разложения;

ϕ0(t), ..., ϕk (t) - ортогональные координатные функции, т. е.

b	0,	при	i	≠ k

такие, что ∫p(t)ϕk (t)ϕi (t)dt =		при	i	= k
a	1,

Здесь р(t) - весовая функция.

В качестве координатных функций могут выступать самые разнообразные функции. Так, если функция ϕ(t) рассматривается на

конечном интервале времени от Т1 до Т2, то в качестве координатных функций могут быть выбраны различные

122

ортогональные полиномы Чебышева, Лежандра и др.

Наиболее часта в качестве координатных ортогональных функций выбираются тригонометрические функции. В этом случае детерминированная функция ϕ(t) , рассматриваемая на конечном

интервале времени от Т1 до Т2, может быть представлена в виде так называемого ряда Фурье:

∞

∑

ϕ(t) =

(ak sin kωt + bk coskωt).

(2.33)

k =1

Здесь ω =

2π

- круговая частота первой гармоники;

−

T )

∫2

ϕ(t − T1 ) sin kωtdt;

− T

∫2

ϕ(t − T1) coskωtdt.

− T

Формулу (33) перепишем в виде

∞

∑

ϕ(t) =

A k sin(kωt + ϕk ),

(2.34)

k =1

где

A k

ak2

+ bk2 ;

ϕk = arctg bk .

Как видно из формулы (34), сигнал ϕ(t)

представлен в

виде суммы

его

постоянной составляющей

и бесконечного

числа гармонических составляющих A k sin(kωt + ϕk ) . На практике

очень часто число членов ряда (34) ограничивают конечным числом n выбирая величину и так, чтобы 95% энергии сигнала было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до nω.

Энергия сигнала (1), существующего на интервале времени от

123

T1 до Т2, определяется по формуле

T2
E = ∫ϕ2(t)dt .	(2.35)
T1
Подставляя в выражение (35) значение ϕ(t)	из формулы (33),

представим энергию сигнала, в функции коэффициентом ряда Фурье:

	T2 − T1	∞		T2 − T1	∞
E =		∑(ak2	+ bk2 ) =		∑A k2 .	(2.36)
	2			2
		k =0			k =0

Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье, которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по формуле

2		n
2		∑
0.95E =	T2 − T1		A k2	(2.37)
0.95E =			A k2	(2.37)

k =0

Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как верхнюю граничную частоту спектра сигнала, которая принимается равной частоте наивысшей гармоники, т. е.

Fb	=	ωb	=	nω	=	n	.	(2.38)
				2π
		2π				T2 − T1

Энергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо его энергии относится так называемая мощность сигнала и его действующее значение.

Мощностью сигнала ϕ(t) , существующего на интервале времени от Т1 до Т2, называется величина

			E				1	T2
Pc =			E	=			1	∫ϕ2(t)dt,	(2.39)
Pc =	T		− T	=	T		− T	∫ϕ2(t)dt,	(2.39)
		2	1			2	1	T
								1

124

а действующим значением -

		E				1	T2
Pc = T		E	=	T		1	∫ϕ2(t)dt.	(2.40)
Pc = T	2	− T	=	T	2	− T	∫ϕ2(t)dt.	(2.40)
	2	1			2	1	T
							1

Из формул (35), (39) и (40) видно, что все энергетические характеристики сигнала (энергия Е, мощность Р, и действующее значение) жестко связаны между собой.

Если, сигнал ϕ(t) представлен в виде, ряда Фурье (33) или

(34), то, как следует из выражений (36) и (39), его мощность может быть определена по формуле (41)

P =	1	∞		(a2 + b2 ) =	1	∞		A 2 .	(2.41)
c	2	∑		k k	2	∑		k
		k =	0			k =	0

Ряд Фурье (38) для функции ϕ(t) , существующий на

интервале от Т1 до Т2 может быть записан также в комплексной форме:

					∞
ϕ(t) = ∑Ck ejkωt ,										(2.42)
			k =−∞
где комплексный коэффициент Сk определяется по формуле
					1	T2		−	ω
Ck	=					∫		ϕ(t − T1 )e	jk t dt.	(2.43)
Ck	=	T			− T	∫		ϕ(t − T1 )e	jk t dt.	(2.43)
				2	1	T
						1
Коэффициенты разложения в ряде (42) связаны с
коэффициентами разложения ряда (33) соотношением
Сk	=		bk − jak				.			(2.44)
Сk	=						.			(2.44)
					2
Если сигнал ϕ(t)								задается в виде ряда (42), то его мощность
подсчитывается по формуле
		∞
Pc	= ∑Ck Ck ,									(2.45)

−∞

125

где Ck - комплексная величина, сопряженная с Ck.
В тех случаях, когда детерминированный сигнал ϕ(t)					является
		∞
непериодической		функцией и ∫	ϕ(t)	dt < ∞, то его	можно
непериодической					можно

		−∞
представить в виде
	1	∞
ϕ(t) =	1	∫S(ω)ejωt dω,			(2.46)
ϕ(t) =	2π	∫S(ω)ejωt dω,			(2.46)
		−∞
где
	∞
S(t) = ∫ϕ(t)e− jωt dt.					(2.47)

−∞

Обычно в такой форме, представляют импульсные сигналы. Комплексная величина S(ω) называется спектральной

плотностью сигнала или комплексным спектром. Модуль S(ω) = S(ω)S (ω) величины S(ω) называется просто спектром

сигнала.

Энергия сигнала ϕ(t) , представленного в виде выражения может быть подсчитана по формуле

	1	∞
E =		∫	S(ω)	2 dω,	(2.48)

	π

		0

а верхняя граничная частота Еb его спектра определяется из уравнения

0.95E = 1π

2πFb

∫

S(ω)

2 dω,

(2.49)

или

2πFb

∞

∫

S(ω)

2 dω = 0.95∫

S(ω)

2 dω.

(2.50)

Уравнением (49) целесообразно пользоваться при известной

126

энергии сигнала, а уравнением (50) - при неизвестной.

Большое значение для математического описания сигналов имеет теорема Котельникова, которая утверждает, что непрерывная функция времени ϕ(t) , не содержащая частот выше граничной

ωb = 2πFb , полностью определяется отсчетами мгновенных значений ϕ(k∆t) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы


∆t =	π	. Эта теорема	позволяет представить		непрерывную

	ωb
функцию ϕ(t) в виде ряда
		∞	sin ωb (t − k∆t)
	ϕ(t) = ∑ ϕ(k∆t)			.	(2.51)
			ωb (t − k∆t)
		k =−∞

Если функция ϕ(t) с ограниченным спектром рассматривается

на конечном интервале времени Т, то точное разложение (51) заменяется приближенными:

		n / 2			sin ωb(t − k∆t)
ϕ(t) ≈		∑ ϕ(k∆t)			sin ωb(t − k∆t)		.	(2.52)
ϕ(t) ≈		∑ ϕ(k∆t)				ωb(t − k∆t)	.	(2.52)
где	k =−n / 2					ωb(t − k∆t)
где
n = (T	∆t	) + 1 ≈ 2F	b	T.
	∆t		b

Таким образом, в данном случае функция ϕ(t) определяется в

виде конечного числа n=2FbТ ее отсчетов.

Методы представления случайных компонент составляющих объекта измерения

Рассмотрим способы представления случайных компонент составляющих объекта измерения.

Случайный сигнал (процесс) N(t) в общем случае может быть охарактеризован его m-мерной плотностью вероятности системы m случайных величин (N(t1),...,N(tm)), где t1,...,tm - произвольные значения аргумента t.

Многомерные плотности вероятности позволяют описать случайный, процесс сколь угодно полно. Однако нахождение m- мерной плотности вероятности - очень трудная задача, которую удается решить, далеко не всегда. Поэтому на практике часто ограничиваются рассмотрением хотя и менее полных, но зато более простых так называемых характеристик или моментов случайного процесса.

127

Обычно указывают математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию, корреляционную функцию. Иногда дополнительно указывают коэффициенты асимметрии и эксцесса. Для определения приведенных характеристик достаточно знать лишь двумерную плотность распределения.

При математическом описании случайного процесса желательно также указать стационарным или нестационарным он является.

Для стационарных случайных процессов, помимо рассмотренных, указывают еще ряд важных характеристик. Одной из таких характеристик является интервал корреляции τk . Наиболее

распространенными формулами для подсчета этой величины являются

∞

∫K N (τ)dτ

τk	=	0					;		(2.66)
τk	=		∞	K N (0)			;		(2.66)
				K N (0)

			∫		K N (τ)	dτ


τk	=		0					;	(2.67)
τk	=				K N (0)			;	(2.67)
					K N (0)

Другой важной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная плотность дисперсии (мощности)

∞

SN (ω) = 21π ∫K N (τ)e− jωτdτ. (2.68)

−∞

Для оценки интервала частот, в котором существует стационарный случайный процесс, вводят понятие эквивалентной ширины спектра мощности, которую определяют по формуле

∞

∫SN (ω)dω

∆ωэ =	0		,	(2.70)
		SN m (ω)

где SN m (ω) - максимальное значение спектральной плотности.

128

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика