Раздел 6. Основы теории комплексных чисел

Тема 6.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

План:

1. Понятие комплексного числа.

2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

3. Арифметические действия над комплексными числами.

Пункт 1. Понятие комплексного числа.

Опр1. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

Опр2. Во множестве комплексных чисел существует элемент i (мнимая единица) такой, что i² = – 1.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b ≠ 0) называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

Опр3. Для любого комплексного числа существует комплексное число, противоположное данному. Оно обозначается - z = -a - bi.

Опр4. Для любого комплексного числа существует сопряженное комплексное число, которое отличается от данного противоположным знаком перед мнимой частью. Такое число обозначается = a – bi.

Свойства сопряженных комплексных чисел:

• (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

• 

• 

• 

• 

• 

Опр5. Запись комплексного числа z = a + bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида: ax² + bx + c = 0, где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем a ≠ 0. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

Разделим все члены уравнения на a ≠ 0 и перенесем свободный член в правую часть уравнения: 

К обеим частям уравнения прибавим выражение   с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения: 

Найдем значения неизвестной: 

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если  b2 – 4ac > 0, то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни. Если же – мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

1. Решите уравнение x² – 2x – 8 = 0.

Решение. Найдем дискриминант  D = b² – 4ac = (– 2)2 – 4•1•(– 8) = 36 > 0.

Уравнение имеет два действительных корня: 

2. Решите уравнение x² + 6x + 9 = 0.

Решение. D = 62 – 4•1•9 = 0, уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:  

Пункт 2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т.п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо п роявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Г еометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

На рисунке 1 изображена координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3); числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а числу – 3i – точка F(0, – 3).

Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости.

Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y ≠ 0 – точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой осью, а ось Ox – действительной осью.

Сопряженным комплексным числам соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс (рис. 2).

Противоположным комплексным числам z = a + bi и - z = -a – bi соответствуют точки, симметричные относительно начала координат.

Пункт 3. Арифметические действия над комплексными числами.

Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c + di, то a = c, b = d и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c + di.

Правило сложения и вычитания комплексных чисел. При сложении двух комплексных чисел надо сложить соответственно их действительные и мнимые части, т.е. (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.

Примеры:

4. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

5. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

6. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

7. (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

8. (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

Правило умножения комплексных чисел. Умножение двух комплексных чисел производится по формуле: (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Докажем эту формулу: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Примеры:

9. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i² = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 

10. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из примеров следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части, т.е. (a + bi)(a – bi) = a² + b².

Действительно: (a + bi)(a – bi) = a² – abi + abi – b²i² = a² + b².

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Например:  5i•3i = 15i² = – 15; – 2i•3i = – 6i² = 6,  и вообще   bi•di = bdi² = – bd.

Правило деления. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

.

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c² + d² = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Пример 11: