1.3.2 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим следующий вероятностный эксперимент Е. Пусть в пространстве определены случайные события А, В, С, … и их вероятности. Предположим, что в ходе нашего эксперимента Е событие А уже произошло. В данном эксперименте появление события А может каким-то образом изменить вероятности появления событий, связанных (зависимых) с ним.

Событие В называется зависимым от события А, если появление (или не появление) события А изменяет вероятность появления события В. Событие В называется независимым от события А, если появление (или не появление) события А не изменяет вероятность появления события В.

Рассмотрим два произвольных события A и B, причем P(B)  0.

Условной вероятностью события A при условии B (обозначается P(A|B)) называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. По определению

P(A | B) = P(A  B)/P(B). (4)

Вычисление условных вероятностей – это, по существу, переход в новое, урезанное заданным условием B пространство элементарных событий. Вероятности элементарных событий P(_i) (_iB) пропорциональны исходным. Для соблюдения условия нормировки в новом пространстве элементарных событий они делятся на P(B).

Аналогично

P(B | A) = P(A  B)/P(A) (5)

в случае, если P(A)  0.

Формулы (2) и (3) часто записывают в виде

P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A) (6)

и называют теоремой умножения вероятностей.

Для произвольного числа n событий A₁, A₂,… A_n теорема умножения вероятностей имеет вид

P(A₁  A₂  …  A_n) = P(A₁)P(A₂|A₁) … P(A_n|A₁  A₂  …  А_n-1),

то есть вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 16 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 20. Какова вероятность того, что он сдаст зачет, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех, содержащихся в билете?

Решение. Обозначим события:

А = {студент сдаст зачет};

В = {студент ответит на три вопроса из трех, содержащихся в билете};

С = {студент ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете}.

События В и С несовместны. Событие А произойдет, если произойдет одно из событий В или С.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий P(А) = .

Определим вероятности событий В и С.

В = {студент ответит на три вопроса из трех, содержащихся в билете};

В₁ = {студент ответит на первый вопрос, содержащийся в билете};

В₂ = {студент ответит на второй вопрос, содержащийся в билете};

В₃ = {студент ответит на третий вопрос, содержащийся в билете}.

Вероятность события В определим по формуле

Р(В) = Р(В₁) Р(В₂ | В₁) Р(В₃ | В₂ В₁ ),

где Р(В₁) = (всего 30 вопросов, из которых 20 студент знает);

Р(В₂ | В₁) = (всего осталось 29 вопросов, из них 19 студент знает);

Р(В₃ | В₂  В₁) = (всего осталось 28 вопросов, из них 18 студент знает).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P(В) = P(В₁) P(В₂| В₁) P(В₃| В₂ В₁) = = = 0,281.

Вероятность события С определим, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий

Р(С) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃),

где С₁ = {студент отвечает на первый и второй вопросы, а на третий не отвечает};

С₂ = {студент отвечает на первый и третий вопросы, а на второй не отвечает};

С₃ = {студент отвечает на второй и третий вопросы, а на первый не отвечает}.

P(С₁) = P(В₁) P(В₂| В₁) P( | В₂ В₁) = = =

= = 0,156.

P(С₂) = P(В₁) P( | В₁) P(В₃|  В₁) =  = =

= = 0,156.

P(С₃) = P( ) P(В₂| ) P(В₃| В₂  ) =  = =

= = 0,156.

Р(С) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃) = 0,156 + 0,156 +0,156 = 0,468.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий P(А) = = 0,281 + 0,468 = 0,749.